Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14548 / 21531
↖ ↑ ↗
← S 49.117029°
W 20.170898°		 ← 799.58 m → S 49.117029°
W 20.159912°		 →
↑
799.50 m
↓
↑
799.50 m
↓
S 49.124219°
W 20.170898°		 ← 799.47 m →
639 217 m²		 S 49.124219°
W 20.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443984985351562 y=0.657089233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443984985351562 × 215)
    floor (0.443984985351562 × 32768)
    floor (14548.5)     		tx = 14548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657089233398438 × 215)
    floor (0.657089233398438 × 32768)
    floor (21531.5)     		ty = 21531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14548 / 21531 ti = "15/14548/21531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14548/21531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14548 ÷ 215
    14548 ÷ 32768     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21531 ÷ 215
    21531 ÷ 32768     		y = 0.657073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657073974609375 × 2 - 1) × π
    -0.31414794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.986924889377716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986924889377716))-π/2
    2×atan(0.372721089125168)-π/2
    2×0.356771225627044-π/2
    0.713542451254088-1.57079632675     		φ = -0.85725388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85725388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.117029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14548 KachelY 21531 -0.35204859 -0.85725388 -20.170898 -49.117029
    Oben rechts KachelX + 1 14549 KachelY 21531 -0.35185684 -0.85725388 -20.159912 -49.117029
    Unten links KachelX 14548 KachelY + 1 21532 -0.35204859 -0.85737937 -20.170898 -49.124219
    Unten rechts KachelX + 1 14549 KachelY + 1 21532 -0.35185684 -0.85737937 -20.159912 -49.124219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85725388--0.85737937) × R
    0.00012548999999995 × 6371000     		dl = 799.496789999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85725388--0.85737937) × R
    0.00012548999999995 × 6371000     		dr = 799.496789999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(-0.85725388) × R
    0.000191749999999991 × 0.654516132096147 × 6371000     		do = 799.582596726798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(-0.85737937) × R
    0.000191749999999991 × 0.654421250474776 × 6371000     		du = 799.466685614029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85725388)-sin(-0.85737937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654516132096147-0.654421250474776)×R²
    abs(-0.35185684--0.35204859)×9.48816213707238e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48816213707238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48816213707238e-05×40589641000000     		ar = 639217.384979965m²