Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14547 / 9653
↖ ↑ ↗
← N 59.237796°
W 20.181885°		 ← 624.84 m → N 59.237796°
W 20.170898°		 →
↑
624.87 m
↓
↑
624.87 m
↓
N 59.232176°
W 20.181885°		 ← 624.94 m →
390 474 m²		 N 59.232176°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443954467773438 y=0.294601440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443954467773438 × 215)
    floor (0.443954467773438 × 32768)
    floor (14547.5)     		tx = 14547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294601440429688 × 215)
    floor (0.294601440429688 × 32768)
    floor (9653.5)     		ty = 9653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14547 / 9653 ti = "15/14547/9653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14547/9653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14547 ÷ 215
    14547 ÷ 32768     		x = 0.443939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9653 ÷ 215
    9653 ÷ 32768     		y = 0.294586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294586181640625 × 2 - 1) × π
    0.41082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29065308537039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35224034} λ = -0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29065308537039))-π/2
    2×atan(3.63515985040378)-π/2
    2×1.30234545409744-π/2
    2.60469090819489-1.57079632675     		φ = 1.03389458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03389458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.237796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14547 KachelY 9653 -0.35224034 1.03389458 -20.181885 59.237796
    Oben rechts KachelX + 1 14548 KachelY 9653 -0.35204859 1.03389458 -20.170898 59.237796
    Unten links KachelX 14547 KachelY + 1 9654 -0.35224034 1.03379650 -20.181885 59.232176
    Unten rechts KachelX + 1 14548 KachelY + 1 9654 -0.35204859 1.03379650 -20.170898 59.232176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03389458-1.03379650) × R
    9.80799999998894e-05 × 6371000     		dl = 624.867679999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03389458-1.03379650) × R
    9.80799999998894e-05 × 6371000     		dr = 624.867679999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(1.03389458) × R
    0.000191749999999991 × 0.511476129595331 × 6371000     		do = 624.839315351712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(1.03379650) × R
    0.000191749999999991 × 0.511560407032469 × 6371000     		du = 624.94227197681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03389458)-sin(1.03379650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511476129595331-0.511560407032469)×R²
    abs(-0.35204859--0.35224034)×8.42774371379029e-05×R²
    0.000191749999999991×8.42774371379029e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.42774371379029e-05×40589641000000     		ar = 390474.060802922m²