Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14546 / 9713
↖ ↑ ↗
← N 58.898971°
W 20.192871°		 ← 631.04 m → N 58.898971°
W 20.181885°		 →
↑
631.05 m
↓
↑
631.05 m
↓
N 58.893296°
W 20.192871°		 ← 631.14 m →
398 247 m²		 N 58.893296°
W 20.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443923950195312 y=0.296432495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443923950195312 × 215)
    floor (0.443923950195312 × 32768)
    floor (14546.5)     		tx = 14546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296432495117188 × 215)
    floor (0.296432495117188 × 32768)
    floor (9713.5)     		ty = 9713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14546 / 9713 ti = "15/14546/9713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14546/9713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14546 ÷ 215
    14546 ÷ 32768     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9713 ÷ 215
    9713 ÷ 32768     		y = 0.296417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296417236328125 × 2 - 1) × π
    0.40716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27914822946158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27914822946158))-π/2
    2×atan(3.5935775181479)-π/2
    2×1.29938865008585-π/2
    2.59877730017171-1.57079632675     		φ = 1.02798097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02798097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.898971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14546 KachelY 9713 -0.35243209 1.02798097 -20.192871 58.898971
    Oben rechts KachelX + 1 14547 KachelY 9713 -0.35224034 1.02798097 -20.181885 58.898971
    Unten links KachelX 14546 KachelY + 1 9714 -0.35243209 1.02788192 -20.192871 58.893296
    Unten rechts KachelX + 1 14547 KachelY + 1 9714 -0.35224034 1.02788192 -20.181885 58.893296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02798097-1.02788192) × R
    9.90499999999894e-05 × 6371000     		dl = 631.047549999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02798097-1.02788192) × R
    9.90499999999894e-05 × 6371000     		dr = 631.047549999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(1.02798097) × R
    0.000191749999999991 × 0.516548706847534 × 6371000     		do = 631.036174821661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(1.02788192) × R
    0.000191749999999991 × 0.516633516649356 × 6371000     		du = 631.13978180435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02798097)-sin(1.02788192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516548706847534-0.516633516649356)×R²
    abs(-0.35224034--0.35243209)×8.48098018214616e-05×R²
    0.000191749999999991×8.48098018214616e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.48098018214616e-05×40589641000000     		ar = 398246.522874006m²