Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14546 / 21659
↖ ↑ ↗
← S 50.028917°
W 20.192871°		 ← 784.78 m → S 50.028917°
W 20.181885°		 →
↑
784.65 m
↓
↑
784.65 m
↓
S 50.035973°
W 20.192871°		 ← 784.67 m →
615 736 m²		 S 50.035973°
W 20.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443923950195312 y=0.660995483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443923950195312 × 215)
    floor (0.443923950195312 × 32768)
    floor (14546.5)     		tx = 14546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660995483398438 × 215)
    floor (0.660995483398438 × 32768)
    floor (21659.5)     		ty = 21659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14546 / 21659 ti = "15/14546/21659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14546/21659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14546 ÷ 215
    14546 ÷ 32768     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21659 ÷ 215
    21659 ÷ 32768     		y = 0.660980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660980224609375 × 2 - 1) × π
    -0.32196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01146858198318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01146858198318))-π/2
    2×atan(0.363684486709547)-π/2
    2×0.348813505787242-π/2
    0.697627011574484-1.57079632675     		φ = -0.87316932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87316932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.028917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14546 KachelY 21659 -0.35243209 -0.87316932 -20.192871 -50.028917
    Oben rechts KachelX + 1 14547 KachelY 21659 -0.35224034 -0.87316932 -20.181885 -50.028917
    Unten links KachelX 14546 KachelY + 1 21660 -0.35243209 -0.87329248 -20.192871 -50.035973
    Unten rechts KachelX + 1 14547 KachelY + 1 21660 -0.35224034 -0.87329248 -20.181885 -50.035973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87316932--0.87329248) × R
    0.000123160000000011 × 6371000     		dl = 784.65236000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87316932--0.87329248) × R
    0.000123160000000011 × 6371000     		dr = 784.65236000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(-0.87316932) × R
    0.000191749999999991 × 0.64240090980245 × 6371000     		do = 784.782165650344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(-0.87329248) × R
    0.000191749999999991 × 0.642306518954534 × 6371000     		du = 784.66685408569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87316932)-sin(-0.87329248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64240090980245-0.642306518954534)×R²
    abs(-0.35224034--0.35243209)×9.43908479159594e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43908479159594e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43908479159594e-05×40589641000000     		ar = 615735.93939591m²