Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14546 / 21586
↖ ↑ ↗
← S 49.510944°
W 20.192871°		 ← 793.21 m → S 49.510944°
W 20.181885°		 →
↑
793.13 m
↓
↑
793.13 m
↓
S 49.518076°
W 20.192871°		 ← 793.10 m →
629 072 m²		 S 49.518076°
W 20.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443923950195312 y=0.658767700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443923950195312 × 215)
    floor (0.443923950195312 × 32768)
    floor (14546.5)     		tx = 14546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658767700195312 × 215)
    floor (0.658767700195312 × 32768)
    floor (21586.5)     		ty = 21586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14546 / 21586 ti = "15/14546/21586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14546/21586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14546 ÷ 215
    14546 ÷ 32768     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21586 ÷ 215
    21586 ÷ 32768     		y = 0.65875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997471007294128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997471007294128))-π/2
    2×atan(0.368810983029591)-π/2
    2×0.35333367335157-π/2
    0.70666734670314-1.57079632675     		φ = -0.86412898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86412898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.510944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14546 KachelY 21586 -0.35243209 -0.86412898 -20.192871 -49.510944
    Oben rechts KachelX + 1 14547 KachelY 21586 -0.35224034 -0.86412898 -20.181885 -49.510944
    Unten links KachelX 14546 KachelY + 1 21587 -0.35243209 -0.86425347 -20.192871 -49.518076
    Unten rechts KachelX + 1 14547 KachelY + 1 21587 -0.35224034 -0.86425347 -20.181885 -49.518076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86412898--0.86425347) × R
    0.000124489999999922 × 6371000     		dl = 793.125789999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86412898--0.86425347) × R
    0.000124489999999922 × 6371000     		dr = 793.125789999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(-0.86412898) × R
    0.000191749999999991 × 0.649302798745507 × 6371000     		do = 793.213784082324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(-0.86425347) × R
    0.000191749999999991 × 0.649208115335121 × 6371000     		du = 793.098115111872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86412898)-sin(-0.86425347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649302798745507-0.649208115335121)×R²
    abs(-0.35224034--0.35243209)×9.46834103862093e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46834103862093e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46834103862093e-05×40589641000000     		ar = 629072.439929929m²