Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14545 / 9657
↖ ↑ ↗
← N 59.215311°
W 20.203857°		 ← 625.22 m → N 59.215311°
W 20.192871°		 →
↑
625.25 m
↓
↑
625.25 m
↓
N 59.209688°
W 20.203857°		 ← 625.32 m →
390 950 m²		 N 59.209688°
W 20.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443893432617188 y=0.294723510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443893432617188 × 215)
    floor (0.443893432617188 × 32768)
    floor (14545.5)     		tx = 14545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294723510742188 × 215)
    floor (0.294723510742188 × 32768)
    floor (9657.5)     		ty = 9657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14545 / 9657 ti = "15/14545/9657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14545/9657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14545 ÷ 215
    14545 ÷ 32768     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9657 ÷ 215
    9657 ÷ 32768     		y = 0.294708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294708251953125 × 2 - 1) × π
    0.41058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28988609497647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28988609497647))-π/2
    2×atan(3.63237278668034)-π/2
    2×1.30214924081155-π/2
    2.6042984816231-1.57079632675     		φ = 1.03350215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03350215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.215311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14545 KachelY 9657 -0.35262383 1.03350215 -20.203857 59.215311
    Oben rechts KachelX + 1 14546 KachelY 9657 -0.35243209 1.03350215 -20.192871 59.215311
    Unten links KachelX 14545 KachelY + 1 9658 -0.35262383 1.03340401 -20.203857 59.209688
    Unten rechts KachelX + 1 14546 KachelY + 1 9658 -0.35243209 1.03340401 -20.192871 59.209688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03350215-1.03340401) × R
    9.81399999999688e-05 × 6371000     		dl = 625.249939999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03350215-1.03340401) × R
    9.81399999999688e-05 × 6371000     		dr = 625.249939999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35243209) × cos(1.03350215) × R
    0.000191740000000051 × 0.511813304314977 × 6371000     		do = 625.218613597919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35243209) × cos(1.03340401) × R
    0.000191740000000051 × 0.511897613600315 × 6371000     		du = 625.321603758683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03350215)-sin(1.03340401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511813304314977-0.511897613600315)×R²
    abs(-0.35243209--0.35262383)×8.43092853379801e-05×R²
    0.000191740000000051×8.43092853379801e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.43092853379801e-05×40589641000000     		ar = 390950.098248457m²