Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14544 / 7059
↖ ↑ ↗
← N 71.006236°
W 20.214844°		 ← 397.60 m → N 71.006236°
W 20.203857°		 →
↑
397.61 m
↓
↑
397.61 m
↓
N 71.002660°
W 20.214844°		 ← 397.67 m →
158 106 m²		 N 71.002660°
W 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443862915039062 y=0.215438842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443862915039062 × 215)
    floor (0.443862915039062 × 32768)
    floor (14544.5)     		tx = 14544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215438842773438 × 215)
    floor (0.215438842773438 × 32768)
    floor (7059.5)     		ty = 7059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14544 / 7059 ti = "15/14544/7059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14544/7059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14544 ÷ 215
    14544 ÷ 32768     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7059 ÷ 215
    7059 ÷ 32768     		y = 0.215423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215423583984375 × 2 - 1) × π
    0.56915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78804635582809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78804635582809))-π/2
    2×atan(5.97776263008761)-π/2
    2×1.40504446433407-π/2
    2.81008892866813-1.57079632675     		φ = 1.23929260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23929260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.006236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14544 KachelY 7059 -0.35281558 1.23929260 -20.214844 71.006236
    Oben rechts KachelX + 1 14545 KachelY 7059 -0.35262383 1.23929260 -20.203857 71.006236
    Unten links KachelX 14544 KachelY + 1 7060 -0.35281558 1.23923019 -20.214844 71.002660
    Unten rechts KachelX + 1 14545 KachelY + 1 7060 -0.35262383 1.23923019 -20.203857 71.002660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23929260-1.23923019) × R
    6.24099999999572e-05 × 6371000     		dl = 397.614109999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23929260-1.23923019) × R
    6.24099999999572e-05 × 6371000     		dr = 397.614109999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35262383) × cos(1.23929260) × R
    0.000191749999999991 × 0.325465250717763 × 6371000     		do = 397.60112478789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35262383) × cos(1.23923019) × R
    0.000191749999999991 × 0.32552426210914 × 6371000     		du = 397.673215419794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23929260)-sin(1.23923019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325465250717763-0.32552426210914)×R²
    abs(-0.35262383--0.35281558)×5.90113913775392e-05×R²
    0.000191749999999991×5.90113913775392e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.90113913775392e-05×40589641000000     		ar = 158106.149545285m²