Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14544 / 21679
↖ ↑ ↗
← S 50.169862°
W 20.214844°		 ← 782.48 m → S 50.169862°
W 20.203857°		 →
↑
782.42 m
↓
↑
782.42 m
↓
S 50.176898°
W 20.214844°		 ← 782.36 m →
612 182 m²		 S 50.176898°
W 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443862915039062 y=0.661605834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443862915039062 × 215)
    floor (0.443862915039062 × 32768)
    floor (14544.5)     		tx = 14544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661605834960938 × 215)
    floor (0.661605834960938 × 32768)
    floor (21679.5)     		ty = 21679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14544 / 21679 ti = "15/14544/21679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14544/21679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14544 ÷ 215
    14544 ÷ 32768     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21679 ÷ 215
    21679 ÷ 32768     		y = 0.661590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.32318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01530353395279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01530353395279))-π/2
    2×atan(0.36229244508336)-π/2
    2×0.347583527037653-π/2
    0.695167054075305-1.57079632675     		φ = -0.87562927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87562927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.169862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14544 KachelY 21679 -0.35281558 -0.87562927 -20.214844 -50.169862
    Oben rechts KachelX + 1 14545 KachelY 21679 -0.35262383 -0.87562927 -20.203857 -50.169862
    Unten links KachelX 14544 KachelY + 1 21680 -0.35281558 -0.87575208 -20.214844 -50.176898
    Unten rechts KachelX + 1 14545 KachelY + 1 21680 -0.35262383 -0.87575208 -20.203857 -50.176898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87562927--0.87575208) × R
    0.000122810000000029 × 6371000     		dl = 782.422510000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87562927--0.87575208) × R
    0.000122810000000029 × 6371000     		dr = 782.422510000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35262383) × cos(-0.87562927) × R
    0.000191749999999991 × 0.64051373918435 × 6371000     		do = 782.476723951827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35262383) × cos(-0.87575208) × R
    0.000191749999999991 × 0.640419422818882 × 6371000     		du = 782.361503377853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87562927)-sin(-0.87575208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64051373918435-0.640419422818882)×R²
    abs(-0.35262383--0.35281558)×9.43163654681944e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43163654681944e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43163654681944e-05×40589641000000     		ar = 612182.327555303m²