Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14544 / 21456
↖ ↑ ↗
← S 48.574790°
W 20.214844°		 ← 808.29 m → S 48.574790°
W 20.203857°		 →
↑
808.23 m
↓
↑
808.23 m
↓
S 48.582059°
W 20.214844°		 ← 808.17 m →
653 231 m²		 S 48.582059°
W 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443862915039062 y=0.654800415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443862915039062 × 215)
    floor (0.443862915039062 × 32768)
    floor (14544.5)     		tx = 14544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654800415039062 × 215)
    floor (0.654800415039062 × 32768)
    floor (21456.5)     		ty = 21456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14544 / 21456 ti = "15/14544/21456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14544/21456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14544 ÷ 215
    14544 ÷ 32768     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21456 ÷ 215
    21456 ÷ 32768     		y = 0.65478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972543819491699))-π/2
    2×atan(0.378119944769246)-π/2
    2×0.361503154701528-π/2
    0.723006309403057-1.57079632675     		φ = -0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14544 KachelY 21456 -0.35281558 -0.84779002 -20.214844 -48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 14545 KachelY 21456 -0.35262383 -0.84779002 -20.203857 -48.574790
    Unten links KachelX 14544 KachelY + 1 21457 -0.35281558 -0.84791688 -20.214844 -48.582059
    Unten rechts KachelX + 1 14545 KachelY + 1 21457 -0.35262383 -0.84791688 -20.203857 -48.582059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84779002--0.84791688) × R
    0.000126859999999951 × 6371000     		dl = 808.225059999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84779002--0.84791688) × R
    0.000126859999999951 × 6371000     		dr = 808.225059999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35262383) × cos(-0.84779002) × R
    0.000191749999999991 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 808.287650374399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35262383) × cos(-0.84791688) × R
    0.000191749999999991 × 0.661546720029414 × 6371000     		du = 808.171438896653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84779002)-sin(-0.84791688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.661546720029414)×R²
    abs(-0.35262383--0.35281558)×9.51274918072897e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51274918072897e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51274918072897e-05×40589641000000     		ar = 653231.373082839m²