Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14543 / 9601
↖ ↑ ↗
← N 59.528747°
W 20.225830°		 ← 619.50 m → N 59.528747°
W 20.214844°		 →
↑
619.58 m
↓
↑
619.58 m
↓
N 59.523175°
W 20.225830°		 ← 619.60 m →
383 862 m²		 N 59.523175°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443832397460938 y=0.293014526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443832397460938 × 215)
    floor (0.443832397460938 × 32768)
    floor (14543.5)     		tx = 14543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293014526367188 × 215)
    floor (0.293014526367188 × 32768)
    floor (9601.5)     		ty = 9601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14543 / 9601 ti = "15/14543/9601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14543/9601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14543 ÷ 215
    14543 ÷ 32768     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9601 ÷ 215
    9601 ÷ 32768     		y = 0.292999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292999267578125 × 2 - 1) × π
    0.41400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30062396049136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30062396049136))-π/2
    2×atan(3.67158687819709)-π/2
    2×1.30488448275158-π/2
    2.60976896550316-1.57079632675     		φ = 1.03897264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03897264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.528747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14543 KachelY 9601 -0.35300733 1.03897264 -20.225830 59.528747
    Oben rechts KachelX + 1 14544 KachelY 9601 -0.35281558 1.03897264 -20.214844 59.528747
    Unten links KachelX 14543 KachelY + 1 9602 -0.35300733 1.03887539 -20.225830 59.523175
    Unten rechts KachelX + 1 14544 KachelY + 1 9602 -0.35281558 1.03887539 -20.214844 59.523175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03897264-1.03887539) × R
    9.72499999998266e-05 × 6371000     		dl = 619.579749998896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03897264-1.03887539) × R
    9.72499999998266e-05 × 6371000     		dr = 619.579749998896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(1.03897264) × R
    0.000191749999999991 × 0.50710598953406 × 6371000     		do = 619.500580724866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(1.03887539) × R
    0.000191749999999991 × 0.507189805325931 × 6371000     		du = 619.602973385986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03897264)-sin(1.03887539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50710598953406-0.507189805325931)×R²
    abs(-0.35281558--0.35300733)×8.38157918716664e-05×R²
    0.000191749999999991×8.38157918716664e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.38157918716664e-05×40589641000000     		ar = 383861.73544153m²