Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14543 / 7055
↖ ↑ ↗
← N 71.020533°
W 20.225830°		 ← 397.31 m → N 71.020533°
W 20.214844°		 →
↑
397.36 m
↓
↑
397.36 m
↓
N 71.016960°
W 20.225830°		 ← 397.38 m →
157 890 m²		 N 71.016960°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443832397460938 y=0.215316772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443832397460938 × 215)
    floor (0.443832397460938 × 32768)
    floor (14543.5)     		tx = 14543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215316772460938 × 215)
    floor (0.215316772460938 × 32768)
    floor (7055.5)     		ty = 7055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14543 / 7055 ti = "15/14543/7055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14543/7055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14543 ÷ 215
    14543 ÷ 32768     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7055 ÷ 215
    7055 ÷ 32768     		y = 0.215301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215301513671875 × 2 - 1) × π
    0.56939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78881334622202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78881334622202))-π/2
    2×atan(5.9823492753336)-π/2
    2×1.40516923344385-π/2
    2.8103384668877-1.57079632675     		φ = 1.23954214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23954214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.020533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14543 KachelY 7055 -0.35300733 1.23954214 -20.225830 71.020533
    Oben rechts KachelX + 1 14544 KachelY 7055 -0.35281558 1.23954214 -20.214844 71.020533
    Unten links KachelX 14543 KachelY + 1 7056 -0.35300733 1.23947977 -20.225830 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 14544 KachelY + 1 7056 -0.35281558 1.23947977 -20.214844 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23954214-1.23947977) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dl = 397.359269999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23954214-1.23947977) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dr = 397.359269999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(1.23954214) × R
    0.000191749999999991 × 0.325229287041174 × 6371000     		do = 397.312862298995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(1.23947977) × R
    0.000191749999999991 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 397.384912913361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23954214)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325229287041174-0.325288265675305)×R²
    abs(-0.35281558--0.35300733)×5.89786341317344e-05×R²
    0.000191749999999991×5.89786341317344e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.89786341317344e-05×40589641000000     		ar = 157890.263965742m²