Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14543 / 21712
↖ ↑ ↗
← S 50.401515°
W 20.225830°		 ← 778.68 m → S 50.401515°
W 20.214844°		 →
↑
778.60 m
↓
↑
778.60 m
↓
S 50.408517°
W 20.225830°		 ← 778.56 m →
606 233 m²		 S 50.408517°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443832397460938 y=0.662612915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443832397460938 × 215)
    floor (0.443832397460938 × 32768)
    floor (14543.5)     		tx = 14543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662612915039062 × 215)
    floor (0.662612915039062 × 32768)
    floor (21712.5)     		ty = 21712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14543 / 21712 ti = "15/14543/21712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14543/21712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14543 ÷ 215
    14543 ÷ 32768     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21712 ÷ 215
    21712 ÷ 32768     		y = 0.66259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66259765625 × 2 - 1) × π
    -0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02163120470264))-π/2
    2×atan(0.360007215490873)-π/2
    2×0.345561968218292-π/2
    0.691123936436584-1.57079632675     		φ = -0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14543 KachelY 21712 -0.35300733 -0.87967239 -20.225830 -50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 14544 KachelY 21712 -0.35281558 -0.87967239 -20.214844 -50.401515
    Unten links KachelX 14543 KachelY + 1 21713 -0.35300733 -0.87979460 -20.225830 -50.408517
    Unten rechts KachelX + 1 14544 KachelY + 1 21713 -0.35281558 -0.87979460 -20.214844 -50.408517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87967239--0.87979460) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dl = 778.599910000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87967239--0.87979460) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dr = 778.599910000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(-0.87967239) × R
    0.000191749999999991 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 778.677270225071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(-0.87979460) × R
    0.000191749999999991 × 0.637309440522757 × 6371000     		du = 778.562226938102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87967239)-sin(-0.87979460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637309440522757)×R²
    abs(-0.35281558--0.35300733)×9.41712432442898e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41712432442898e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41712432442898e-05×40589641000000     		ar = 606233.266924761m²