Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14541 / 9605
↖ ↑ ↗
← N 59.506455°
W 20.247803°		 ← 619.88 m → N 59.506455°
W 20.236817°		 →
↑
619.90 m
↓
↑
619.90 m
↓
N 59.500880°
W 20.247803°		 ← 619.98 m →
384 293 m²		 N 59.500880°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443771362304688 y=0.293136596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443771362304688 × 215)
    floor (0.443771362304688 × 32768)
    floor (14541.5)     		tx = 14541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293136596679688 × 215)
    floor (0.293136596679688 × 32768)
    floor (9605.5)     		ty = 9605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14541 / 9605 ti = "15/14541/9605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14541/9605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14541 ÷ 215
    14541 ÷ 32768     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9605 ÷ 215
    9605 ÷ 32768     		y = 0.293121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293121337890625 × 2 - 1) × π
    0.41375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29985697009744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29985697009744))-π/2
    2×atan(3.66877188600505)-π/2
    2×1.30468994575183-π/2
    2.60937989150366-1.57079632675     		φ = 1.03858356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03858356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.506455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14541 KachelY 9605 -0.35339082 1.03858356 -20.247803 59.506455
    Oben rechts KachelX + 1 14542 KachelY 9605 -0.35319908 1.03858356 -20.236817 59.506455
    Unten links KachelX 14541 KachelY + 1 9606 -0.35339082 1.03848626 -20.247803 59.500880
    Unten rechts KachelX + 1 14542 KachelY + 1 9606 -0.35319908 1.03848626 -20.236817 59.500880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03858356-1.03848626) × R
    9.72999999999669e-05 × 6371000     		dl = 619.898299999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03858356-1.03848626) × R
    9.72999999999669e-05 × 6371000     		dr = 619.898299999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(1.03858356) × R
    0.000191739999999996 × 0.507441292852609 × 6371000     		do = 619.877871334711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(1.03848626) × R
    0.000191739999999996 × 0.507525132530508 × 6371000     		du = 619.980287834513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03858356)-sin(1.03848626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507441292852609-0.507525132530508)×R²
    abs(-0.35319908--0.35339082)×8.38396778990447e-05×R²
    0.000191739999999996×8.38396778990447e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.38396778990447e-05×40589641000000     		ar = 384292.982858351m²