Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14541 / 21712
↖ ↑ ↗
← S 50.401515°
W 20.247803°		 ← 778.64 m → S 50.401515°
W 20.236817°		 →
↑
778.60 m
↓
↑
778.60 m
↓
S 50.408517°
W 20.247803°		 ← 778.52 m →
606 202 m²		 S 50.408517°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443771362304688 y=0.662612915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443771362304688 × 215)
    floor (0.443771362304688 × 32768)
    floor (14541.5)     		tx = 14541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662612915039062 × 215)
    floor (0.662612915039062 × 32768)
    floor (21712.5)     		ty = 21712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14541 / 21712 ti = "15/14541/21712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14541/21712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14541 ÷ 215
    14541 ÷ 32768     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21712 ÷ 215
    21712 ÷ 32768     		y = 0.66259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66259765625 × 2 - 1) × π
    -0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02163120470264))-π/2
    2×atan(0.360007215490873)-π/2
    2×0.345561968218292-π/2
    0.691123936436584-1.57079632675     		φ = -0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14541 KachelY 21712 -0.35339082 -0.87967239 -20.247803 -50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 14542 KachelY 21712 -0.35319908 -0.87967239 -20.236817 -50.401515
    Unten links KachelX 14541 KachelY + 1 21713 -0.35339082 -0.87979460 -20.247803 -50.408517
    Unten rechts KachelX + 1 14542 KachelY + 1 21713 -0.35319908 -0.87979460 -20.236817 -50.408517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87967239--0.87979460) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dl = 778.599910000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87967239--0.87979460) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dr = 778.599910000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.87967239) × R
    0.000191739999999996 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 778.636661240987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.87979460) × R
    0.000191739999999996 × 0.637309440522757 × 6371000     		du = 778.521623953668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87967239)-sin(-0.87979460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637309440522757)×R²
    abs(-0.35319908--0.35339082)×9.41712432442898e-05×R²
    0.000191739999999996×9.41712432442898e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.41712432442898e-05×40589641000000     		ar = 606201.651109032m²