Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14541 / 21629
↖ ↑ ↗
← S 49.816721°
W 20.247803°		 ← 788.20 m → S 49.816721°
W 20.236817°		 →
↑
788.16 m
↓
↑
788.16 m
↓
S 49.823809°
W 20.247803°		 ← 788.09 m →
621 182 m²		 S 49.823809°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443771362304688 y=0.660079956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443771362304688 × 215)
    floor (0.443771362304688 × 32768)
    floor (14541.5)     		tx = 14541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660079956054688 × 215)
    floor (0.660079956054688 × 32768)
    floor (21629.5)     		ty = 21629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14541 / 21629 ti = "15/14541/21629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14541/21629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14541 ÷ 215
    14541 ÷ 32768     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21629 ÷ 215
    21629 ÷ 32768     		y = 0.660064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.32012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00571615402878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00571615402878))-π/2
    2×atan(0.365782584309547)-π/2
    2×0.350665262773115-π/2
    0.70133052554623-1.57079632675     		φ = -0.86946580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86946580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.816721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14541 KachelY 21629 -0.35339082 -0.86946580 -20.247803 -49.816721
    Oben rechts KachelX + 1 14542 KachelY 21629 -0.35319908 -0.86946580 -20.236817 -49.816721
    Unten links KachelX 14541 KachelY + 1 21630 -0.35339082 -0.86958951 -20.247803 -49.823809
    Unten rechts KachelX + 1 14542 KachelY + 1 21630 -0.35319908 -0.86958951 -20.236817 -49.823809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86946580--0.86958951) × R
    0.000123709999999999 × 6371000     		dl = 788.156409999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86946580--0.86958951) × R
    0.000123709999999999 × 6371000     		dr = 788.156409999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.86946580) × R
    0.000191739999999996 × 0.645234759731783 × 6371000     		do = 788.203000046106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.86958951) × R
    0.000191739999999996 × 0.645140242289256 × 6371000     		du = 788.087539850212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86946580)-sin(-0.86958951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645234759731783-0.645140242289256)×R²
    abs(-0.35319908--0.35339082)×9.45174425269757e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45174425269757e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45174425269757e-05×40589641000000     		ar = 621181.747313326m²