Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14541 / 21627
S 49.802541°
W 20.247803°
← 788.43 m → S 49.802541°
W 20.236817°

788.41 m

788.41 m
S 49.809632°
W 20.247803°
← 788.32 m →
621 565 m²
S 49.809632°
W 20.236817°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443771362304688 y=0.660018920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443771362304688 × 215)
    floor (0.443771362304688 × 32768)
    floor (14541.5)
    tx = 14541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660018920898438 × 215)
    floor (0.660018920898438 × 32768)
    floor (21627.5)
    ty = 21627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14541 / 21627 ti = "15/14541/21627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14541/21627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14541 ÷ 215
    14541 ÷ 32768
    x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21627 ÷ 215
    21627 ÷ 32768
    y = 0.660003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535
    Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.660003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.32000732421875 × 3.1415926535
    Φ = -1.00533265883182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00533265883182))-π/2
    2×atan(0.36592288707476)-π/2
    2×0.350789003113409-π/2
    0.701578006226818-1.57079632675
    φ = -0.86921832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86921832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.802541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14541 KachelY 21627 -0.35339082 -0.86921832 -20.247803 -49.802541
    Oben rechts KachelX + 1 14542 KachelY 21627 -0.35319908 -0.86921832 -20.236817 -49.802541
    Unten links KachelX 14541 KachelY + 1 21628 -0.35339082 -0.86934207 -20.247803 -49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 14542 KachelY + 1 21628 -0.35319908 -0.86934207 -20.236817 -49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.86921832--0.86934207) × R
    0.000123749999999978 × 6371000
    dl = 788.41124999986m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.86921832--0.86934207) × R
    0.000123749999999978 × 6371000
    dr = 788.41124999986m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.86921832) × R
    0.000191739999999996 × 0.645423810820535 × 6371000
    do = 788.433940231936m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.86934207) × R
    0.000191739999999996 × 0.645329282577622 × 6371000
    du = 788.318466842554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.86921832)-sin(-0.86934207))×
    abs(λ12)×abs(0.645423810820535-0.645329282577622)×
    abs(-0.35319908--0.35339082)×9.45282429133387e-05×
    0.000191739999999996×9.45282429133387e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45282429133387e-05×40589641000000
    ar = 621564.66889439m²