Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14539 / 9643
↖ ↑ ↗
← N 59.293942°
W 20.269775°		 ← 623.81 m → N 59.293942°
W 20.258789°		 →
↑
623.85 m
↓
↑
623.85 m
↓
N 59.288332°
W 20.269775°		 ← 623.91 m →
389 195 m²		 N 59.288332°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443710327148438 y=0.294296264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443710327148438 × 215)
    floor (0.443710327148438 × 32768)
    floor (14539.5)     		tx = 14539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294296264648438 × 215)
    floor (0.294296264648438 × 32768)
    floor (9643.5)     		ty = 9643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14539 / 9643 ti = "15/14539/9643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14539/9643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14539 ÷ 215
    14539 ÷ 32768     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9643 ÷ 215
    9643 ÷ 32768     		y = 0.294281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294281005859375 × 2 - 1) × π
    0.41143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29257056135519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29257056135519))-π/2
    2×atan(3.64213686911305)-π/2
    2×1.30283542184898-π/2
    2.60567084369796-1.57079632675     		φ = 1.03487452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03487452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.293942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14539 KachelY 9643 -0.35377432 1.03487452 -20.269775 59.293942
    Oben rechts KachelX + 1 14540 KachelY 9643 -0.35358257 1.03487452 -20.258789 59.293942
    Unten links KachelX 14539 KachelY + 1 9644 -0.35377432 1.03477660 -20.269775 59.288332
    Unten rechts KachelX + 1 14540 KachelY + 1 9644 -0.35358257 1.03477660 -20.258789 59.288332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03487452-1.03477660) × R
    9.79199999999736e-05 × 6371000     		dl = 623.848319999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03487452-1.03477660) × R
    9.79199999999736e-05 × 6371000     		dr = 623.848319999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35358257) × cos(1.03487452) × R
    0.000191749999999991 × 0.510633824171263 × 6371000     		do = 623.810321985183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35358257) × cos(1.03477660) × R
    0.000191749999999991 × 0.510718013171517 × 6371000     		du = 623.913170572311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03487452)-sin(1.03477660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510633824171263-0.510718013171517)×R²
    abs(-0.35358257--0.35377432)×8.41890002535317e-05×R²
    0.000191749999999991×8.41890002535317e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.41890002535317e-05×40589641000000     		ar = 389195.102639644m²