Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14539 / 7046
↖ ↑ ↗
← N 71.052665°
W 20.269775°		 ← 396.66 m → N 71.052665°
W 20.258789°		 →
↑
396.72 m
↓
↑
396.72 m
↓
N 71.049097°
W 20.269775°		 ← 396.74 m →
157 380 m²		 N 71.049097°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443710327148438 y=0.215042114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443710327148438 × 215)
    floor (0.443710327148438 × 32768)
    floor (14539.5)     		tx = 14539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215042114257812 × 215)
    floor (0.215042114257812 × 32768)
    floor (7046.5)     		ty = 7046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14539 / 7046 ti = "15/14539/7046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14539/7046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14539 ÷ 215
    14539 ÷ 32768     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7046 ÷ 215
    7046 ÷ 32768     		y = 0.21502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21502685546875 × 2 - 1) × π
    0.5699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79053907460834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79053907460834))-π/2
    2×atan(5.99268209855372)-π/2
    2×1.40544963327961-π/2
    2.81089926655922-1.57079632675     		φ = 1.24010294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24010294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.052665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14539 KachelY 7046 -0.35377432 1.24010294 -20.269775 71.052665
    Oben rechts KachelX + 1 14540 KachelY 7046 -0.35358257 1.24010294 -20.258789 71.052665
    Unten links KachelX 14539 KachelY + 1 7047 -0.35377432 1.24004067 -20.269775 71.049097
    Unten rechts KachelX + 1 14540 KachelY + 1 7047 -0.35358257 1.24004067 -20.258789 71.049097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24010294-1.24004067) × R
    6.22700000001419e-05 × 6371000     		dl = 396.722170000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24010294-1.24004067) × R
    6.22700000001419e-05 × 6371000     		dr = 396.722170000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35358257) × cos(1.24010294) × R
    0.000191749999999991 × 0.324698923713169 × 6371000     		do = 396.664949640744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35358257) × cos(1.24004067) × R
    0.000191749999999991 × 0.324757819134915 × 6371000     		du = 396.736898599593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24010294)-sin(1.24004067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324698923713169-0.324757819134915)×R²
    abs(-0.35358257--0.35377432)×5.88954217453086e-05×R²
    0.000191749999999991×5.88954217453086e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.88954217453086e-05×40589641000000     		ar = 157380.051508617m²