Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14539 / 16109
↖ ↑ ↗
← N 79.312322°
W140.067444°		 ← 56.64 m → N 79.312322°
W140.064697°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.311813°
W140.067444°		 ← 56.65 m →
3 208 m²		 N 79.311813°
W140.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.110927581787109 y=0.122905731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.110927581787109 × 217)
    floor (0.110927581787109 × 131072)
    floor (14539.5)     		tx = 14539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122905731201172 × 217)
    floor (0.122905731201172 × 131072)
    floor (16109.5)     		ty = 16109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14539 / 16109 ti = "17/14539/16109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14539/16109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14539 ÷ 217
    14539 ÷ 131072     		x = 0.110923767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16109 ÷ 217
    16109 ÷ 131072     		y = 0.122901916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.110923767089844 × 2 - 1) × π
    -0.778152465820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.44463807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122901916503906 × 2 - 1) × π
    0.754196166992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36937713752052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44463807} λ = -2.44463807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36937713752052))-π/2
    2×atan(10.6907313544659)-π/2
    2×1.477528741088-π/2
    2.95505748217601-1.57079632675     		φ = 1.38426116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44463807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.067444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38426116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.312322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14539 KachelY 16109 -2.44463807 1.38426116 -140.067444 79.312322
    Oben rechts KachelX + 1 14540 KachelY 16109 -2.44459013 1.38426116 -140.064697 79.312322
    Unten links KachelX 14539 KachelY + 1 16110 -2.44463807 1.38425227 -140.067444 79.311813
    Unten rechts KachelX + 1 14540 KachelY + 1 16110 -2.44459013 1.38425227 -140.064697 79.311813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38426116-1.38425227) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38426116-1.38425227) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44463807--2.44459013) × cos(1.38426116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185455287272035 × 6371000     		do = 56.6428183519366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44463807--2.44459013) × cos(1.38425227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185464023047244 × 6371000     		du = 56.6454864825443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38426116)-sin(1.38425227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185455287272035-0.185464023047244)×R²
    abs(-2.44459013--2.44463807)×8.73577520899005e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.73577520899005e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.73577520899005e-06×40589641000000     		ar = 3208.22226717062m²