Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14538 / 9883
↖ ↑ ↗
← N 57.920683°
W 20.280762°		 ← 648.80 m → N 57.920683°
W 20.269775°		 →
↑
648.82 m
↓
↑
648.82 m
↓
N 57.914848°
W 20.280762°		 ← 648.91 m →
420 993 m²		 N 57.914848°
W 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443679809570312 y=0.301620483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443679809570312 × 215)
    floor (0.443679809570312 × 32768)
    floor (14538.5)     		tx = 14538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301620483398438 × 215)
    floor (0.301620483398438 × 32768)
    floor (9883.5)     		ty = 9883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14538 / 9883 ti = "15/14538/9883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14538/9883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14538 ÷ 215
    14538 ÷ 32768     		x = 0.44366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9883 ÷ 215
    9883 ÷ 32768     		y = 0.301605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35396607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301605224609375 × 2 - 1) × π
    0.39678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24655113771994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35396607} λ = -0.35396607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24655113771994))-π/2
    2×atan(3.4783259796536)-π/2
    2×1.29085147506649-π/2
    2.58170295013299-1.57079632675     		φ = 1.01090662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35396607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01090662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.920683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14538 KachelY 9883 -0.35396607 1.01090662 -20.280762 57.920683
    Oben rechts KachelX + 1 14539 KachelY 9883 -0.35377432 1.01090662 -20.269775 57.920683
    Unten links KachelX 14538 KachelY + 1 9884 -0.35396607 1.01080478 -20.280762 57.914848
    Unten rechts KachelX + 1 14539 KachelY + 1 9884 -0.35377432 1.01080478 -20.269775 57.914848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01090662-1.01080478) × R
    0.000101840000000131 × 6371000     		dl = 648.822640000833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01090662-1.01080478) × R
    0.000101840000000131 × 6371000     		dr = 648.822640000833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35396607--0.35377432) × cos(1.01090662) × R
    0.000191750000000046 × 0.531092748208507 × 6371000     		do = 648.803746602036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35396607--0.35377432) × cos(1.01080478) × R
    0.000191750000000046 × 0.531179035880677 × 6371000     		du = 648.909159009149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01090662)-sin(1.01080478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531092748208507-0.531179035880677)×R²
    abs(-0.35377432--0.35396607)×8.62876721693384e-05×R²
    0.000191750000000046×8.62876721693384e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.62876721693384e-05×40589641000000     		ar = 420992.757054795m²