Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14538 / 21585
↖ ↑ ↗
← S 49.503810°
W 20.280762°		 ← 793.33 m → S 49.503810°
W 20.269775°		 →
↑
793.25 m
↓
↑
793.25 m
↓
S 49.510944°
W 20.280762°		 ← 793.21 m →
629 265 m²		 S 49.510944°
W 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443679809570312 y=0.658737182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443679809570312 × 215)
    floor (0.443679809570312 × 32768)
    floor (14538.5)     		tx = 14538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658737182617188 × 215)
    floor (0.658737182617188 × 32768)
    floor (21585.5)     		ty = 21585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14538 / 21585 ti = "15/14538/21585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14538/21585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14538 ÷ 215
    14538 ÷ 32768     		x = 0.44366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21585 ÷ 215
    21585 ÷ 32768     		y = 0.658721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35396607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.31744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.997279259695648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35396607} λ = -0.35396607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997279259695648))-π/2
    2×atan(0.368881708430376)-π/2
    2×0.353395929016831-π/2
    0.706791858033662-1.57079632675     		φ = -0.86400447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35396607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86400447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.503810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14538 KachelY 21585 -0.35396607 -0.86400447 -20.280762 -49.503810
    Oben rechts KachelX + 1 14539 KachelY 21585 -0.35377432 -0.86400447 -20.269775 -49.503810
    Unten links KachelX 14538 KachelY + 1 21586 -0.35396607 -0.86412898 -20.280762 -49.510944
    Unten rechts KachelX + 1 14539 KachelY + 1 21586 -0.35377432 -0.86412898 -20.269775 -49.510944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86400447--0.86412898) × R
    0.000124510000000022 × 6371000     		dl = 793.253210000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86400447--0.86412898) × R
    0.000124510000000022 × 6371000     		dr = 793.253210000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35396607--0.35377432) × cos(-0.86400447) × R
    0.000191750000000046 × 0.649397487302138 × 6371000     		do = 793.329459339859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35396607--0.35377432) × cos(-0.86412898) × R
    0.000191750000000046 × 0.649302798745507 × 6371000     		du = 793.213784082553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86400447)-sin(-0.86412898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649397487302138-0.649302798745507)×R²
    abs(-0.35377432--0.35396607)×9.46885566305289e-05×R²
    0.000191750000000046×9.46885566305289e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.46885566305289e-05×40589641000000     		ar = 629265.261137558m²