Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14537 / 21625
↖ ↑ ↗
← S 49.788358°
W 20.291748°		 ← 788.66 m → S 49.788358°
W 20.280762°		 →
↑
788.60 m
↓
↑
788.60 m
↓
S 49.795450°
W 20.291748°		 ← 788.55 m →
621 897 m²		 S 49.795450°
W 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443649291992188 y=0.659957885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443649291992188 × 215)
    floor (0.443649291992188 × 32768)
    floor (14537.5)     		tx = 14537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659957885742188 × 215)
    floor (0.659957885742188 × 32768)
    floor (21625.5)     		ty = 21625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14537 / 21625 ti = "15/14537/21625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14537/21625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14537 ÷ 215
    14537 ÷ 32768     		x = 0.443634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21625 ÷ 215
    21625 ÷ 32768     		y = 0.659942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.11273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35415781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.31988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00494916363486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35415781} λ = -0.35415781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00494916363486))-π/2
    2×atan(0.366063243655728)-π/2
    2×0.350912779705415-π/2
    0.701825559410829-1.57079632675     		φ = -0.86897077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35415781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86897077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.788358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14537 KachelY 21625 -0.35415781 -0.86897077 -20.291748 -49.788358
    Oben rechts KachelX + 1 14538 KachelY 21625 -0.35396607 -0.86897077 -20.280762 -49.788358
    Unten links KachelX 14537 KachelY + 1 21626 -0.35415781 -0.86909455 -20.291748 -49.795450
    Unten rechts KachelX + 1 14538 KachelY + 1 21626 -0.35396607 -0.86909455 -20.280762 -49.795450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86897077--0.86909455) × R
    0.000123780000000018 × 6371000     		dl = 788.602380000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86897077--0.86909455) × R
    0.000123780000000018 × 6371000     		dr = 788.602380000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35415781--0.35396607) × cos(-0.86897077) × R
    0.000191739999999996 × 0.645612875835976 × 6371000     		do = 788.664897430268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35415781--0.35396607) × cos(-0.86909455) × R
    0.000191739999999996 × 0.645518344454283 × 6371000     		du = 788.54942020663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86897077)-sin(-0.86909455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645612875835976-0.645518344454283)×R²
    abs(-0.35396607--0.35415781)×9.45313816930193e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45313816930193e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45313816930193e-05×40589641000000     		ar = 621897.483123804m²