Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14536 / 18264
↖ ↑ ↗
← N 62.042138°
W100.151367°		 ← 286.38 m → N 62.042138°
W100.145874°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 62.039562°
W100.151367°		 ← 286.40 m →
82 016 m²		 N 62.039562°
W100.145874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221809387207031 y=0.278694152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221809387207031 × 216)
    floor (0.221809387207031 × 65536)
    floor (14536.5)     		tx = 14536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278694152832031 × 216)
    floor (0.278694152832031 × 65536)
    floor (18264.5)     		ty = 18264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14536 / 18264 ti = "16/14536/18264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14536/18264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14536 ÷ 216
    14536 ÷ 65536     		x = 0.2218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18264 ÷ 216
    18264 ÷ 65536     		y = 0.2786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74797111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2786865234375 × 2 - 1) × π
    0.442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39055358417859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74797111} λ = -1.74797111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39055358417859))-π/2
    2×atan(4.01707322576281)-π/2
    2×1.32681795234162-π/2
    2.65363590468325-1.57079632675     		φ = 1.08283958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74797111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08283958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.042138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14536 KachelY 18264 -1.74797111 1.08283958 -100.151367 62.042138
    Oben rechts KachelX + 1 14537 KachelY 18264 -1.74787523 1.08283958 -100.145874 62.042138
    Unten links KachelX 14536 KachelY + 1 18265 -1.74797111 1.08279463 -100.151367 62.039562
    Unten rechts KachelX + 1 14537 KachelY + 1 18265 -1.74787523 1.08279463 -100.145874 62.039562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08283958-1.08279463) × R
    4.49499999999325e-05 × 6371000     		dl = 286.37644999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08283958-1.08279463) × R
    4.49499999999325e-05 × 6371000     		dr = 286.37644999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74797111--1.74787523) × cos(1.08283958) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468822077580445 × 6371000     		do = 286.380659946502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74797111--1.74787523) × cos(1.08279463) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468861781110251 × 6371000     		du = 286.404912906445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08283958)-sin(1.08279463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468822077580445-0.468861781110251)×R²
    abs(-1.74787523--1.74797111)×3.9703529806312e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9703529806312e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9703529806312e-05×40589641000000     		ar = 82016.1494963541m²