Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14535 / 9659
↖ ↑ ↗
← N 59.204064°
W 20.313721°		 ← 625.46 m → N 59.204064°
W 20.302734°		 →
↑
625.44 m
↓
↑
625.44 m
↓
N 59.198439°
W 20.313721°		 ← 625.56 m →
391 219 m²		 N 59.198439°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443588256835938 y=0.294784545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443588256835938 × 215)
    floor (0.443588256835938 × 32768)
    floor (14535.5)     		tx = 14535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294784545898438 × 215)
    floor (0.294784545898438 × 32768)
    floor (9659.5)     		ty = 9659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14535 / 9659 ti = "15/14535/9659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14535/9659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14535 ÷ 215
    14535 ÷ 32768     		x = 0.443572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9659 ÷ 215
    9659 ÷ 32768     		y = 0.294769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.11285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35454131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294769287109375 × 2 - 1) × π
    0.41046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28950259977951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35454131} λ = -0.35454131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28950259977951))-π/2
    2×atan(3.63098005623286)-π/2
    2×1.30205108567282-π/2
    2.60410217134564-1.57079632675     		φ = 1.03330584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35454131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03330584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.204064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14535 KachelY 9659 -0.35454131 1.03330584 -20.313721 59.204064
    Oben rechts KachelX + 1 14536 KachelY 9659 -0.35434956 1.03330584 -20.302734 59.204064
    Unten links KachelX 14535 KachelY + 1 9660 -0.35454131 1.03320767 -20.313721 59.198439
    Unten rechts KachelX + 1 14536 KachelY + 1 9660 -0.35434956 1.03320767 -20.302734 59.198439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03330584-1.03320767) × R
    9.81700000000085e-05 × 6371000     		dl = 625.441070000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03330584-1.03320767) × R
    9.81700000000085e-05 × 6371000     		dr = 625.441070000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35454131--0.35434956) × cos(1.03330584) × R
    0.000191749999999991 × 0.511981943725218 × 6371000     		do = 625.457237745987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35454131--0.35434956) × cos(1.03320767) × R
    0.000191749999999991 × 0.512066268915973 × 6371000     		du = 625.560252708777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03330584)-sin(1.03320767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511981943725218-0.512066268915973)×R²
    abs(-0.35434956--0.35454131)×8.43251907547415e-05×R²
    0.000191749999999991×8.43251907547415e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.43251907547415e-05×40589641000000     		ar = 391218.859224234m²