Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14535 / 11199
↖ ↑ ↗
← N 75.586305°
W100.156860°		 ← 152.04 m → N 75.586305°
W100.151367°		 →
↑
152.08 m
↓
↑
152.08 m
↓
N 75.584937°
W100.156860°		 ← 152.05 m →
23 122 m²		 N 75.584937°
W100.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221794128417969 y=0.170890808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221794128417969 × 216)
    floor (0.221794128417969 × 65536)
    floor (14535.5)     		tx = 14535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170890808105469 × 216)
    floor (0.170890808105469 × 65536)
    floor (11199.5)     		ty = 11199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14535 / 11199 ti = "16/14535/11199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14535/11199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14535 ÷ 216
    14535 ÷ 65536     		x = 0.221786499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11199 ÷ 216
    11199 ÷ 65536     		y = 0.170883178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221786499023438 × 2 - 1) × π
    -0.556427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74806698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170883178710938 × 2 - 1) × π
    0.658233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06790197580998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74806698} λ = -1.74806698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06790197580998))-π/2
    2×atan(7.90821407642431)-π/2
    2×1.44501310781185-π/2
    2.89002621562371-1.57079632675     		φ = 1.31922989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74806698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.156860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31922989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.586305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14535 KachelY 11199 -1.74806698 1.31922989 -100.156860 75.586305
    Oben rechts KachelX + 1 14536 KachelY 11199 -1.74797111 1.31922989 -100.151367 75.586305
    Unten links KachelX 14535 KachelY + 1 11200 -1.74806698 1.31920602 -100.156860 75.584937
    Unten rechts KachelX + 1 14536 KachelY + 1 11200 -1.74797111 1.31920602 -100.151367 75.584937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31922989-1.31920602) × R
    2.38699999999259e-05 × 6371000     		dl = 152.075769999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31922989-1.31920602) × R
    2.38699999999259e-05 × 6371000     		dr = 152.075769999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74806698--1.74797111) × cos(1.31922989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.248921395171754 × 6371000     		do = 152.038143862241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74806698--1.74797111) × cos(1.31920602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.248944513761329 × 6371000     		du = 152.052264414013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31922989)-sin(1.31920602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248921395171754-0.248944513761329)×R²
    abs(-1.74797111--1.74806698)×2.31185895747388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31185895747388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31185895747388e-05×40589641000000     		ar = 23122.3914954165m²