Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14534 / 10679
↖ ↑ ↗
← N 76.280425°
W100.162354°		 ← 144.88 m → N 76.280425°
W100.156860°		 →
↑
144.88 m
↓
↑
144.88 m
↓
N 76.279122°
W100.162354°		 ← 144.89 m →
20 990 m²		 N 76.279122°
W100.156860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221778869628906 y=0.162956237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221778869628906 × 216)
    floor (0.221778869628906 × 65536)
    floor (14534.5)     		tx = 14534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162956237792969 × 216)
    floor (0.162956237792969 × 65536)
    floor (10679.5)     		ty = 10679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14534 / 10679 ti = "16/14534/10679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14534/10679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14534 ÷ 216
    14534 ÷ 65536     		x = 0.221771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10679 ÷ 216
    10679 ÷ 65536     		y = 0.162948608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.55645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74816286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162948608398438 × 2 - 1) × π
    0.674102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11775635141484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74816286} λ = -1.74816286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11775635141484))-π/2
    2×atan(8.31246629647904)-π/2
    2×1.45107044799182-π/2
    2.90214089598365-1.57079632675     		φ = 1.33134457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74816286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.162354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33134457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.280425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14534 KachelY 10679 -1.74816286 1.33134457 -100.162354 76.280425
    Oben rechts KachelX + 1 14535 KachelY 10679 -1.74806698 1.33134457 -100.156860 76.280425
    Unten links KachelX 14534 KachelY + 1 10680 -1.74816286 1.33132183 -100.162354 76.279122
    Unten rechts KachelX + 1 14535 KachelY + 1 10680 -1.74806698 1.33132183 -100.156860 76.279122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33134457-1.33132183) × R
    2.27399999999101e-05 × 6371000     		dl = 144.876539999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33134457-1.33132183) × R
    2.27399999999101e-05 × 6371000     		dr = 144.876539999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74816286--1.74806698) × cos(1.33134457) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.237170061286029 × 6371000     		do = 144.875682948502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74816286--1.74806698) × cos(1.33132183) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.237192152410385 × 6371000     		du = 144.88917734451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33134457)-sin(1.33132183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237170061286029-0.237192152410385)×R²
    abs(-1.74806698--1.74816286)×2.20911243558608e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.20911243558608e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.20911243558608e-05×40589641000000     		ar = 20990.065187168m²