Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14533 / 9670
↖ ↑ ↗
← N 59.142135°
W 20.335693°		 ← 626.56 m → N 59.142135°
W 20.324707°		 →
↑
626.65 m
↓
↑
626.65 m
↓
N 59.136499°
W 20.335693°		 ← 626.66 m →
392 666 m²		 N 59.136499°
W 20.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443527221679688 y=0.295120239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443527221679688 × 215)
    floor (0.443527221679688 × 32768)
    floor (14533.5)     		tx = 14533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295120239257812 × 215)
    floor (0.295120239257812 × 32768)
    floor (9670.5)     		ty = 9670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14533 / 9670 ti = "15/14533/9670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14533/9670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14533 ÷ 215
    14533 ÷ 32768     		x = 0.443511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9670 ÷ 215
    9670 ÷ 32768     		y = 0.29510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.11297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35492480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29510498046875 × 2 - 1) × π
    0.4097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28739337619623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35492480} λ = -0.35492480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28739337619623))-π/2
    2×atan(3.62332957858806)-π/2
    2×1.30151065415392-π/2
    2.60302130830784-1.57079632675     		φ = 1.03222498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35492480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03222498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.142135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14533 KachelY 9670 -0.35492480 1.03222498 -20.335693 59.142135
    Oben rechts KachelX + 1 14534 KachelY 9670 -0.35473306 1.03222498 -20.324707 59.142135
    Unten links KachelX 14533 KachelY + 1 9671 -0.35492480 1.03212662 -20.335693 59.136499
    Unten rechts KachelX + 1 14534 KachelY + 1 9671 -0.35473306 1.03212662 -20.324707 59.136499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03222498-1.03212662) × R
    9.8359999999964e-05 × 6371000     		dl = 626.651559999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03222498-1.03212662) × R
    9.8359999999964e-05 × 6371000     		dr = 626.651559999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35492480--0.35473306) × cos(1.03222498) × R
    0.000191739999999996 × 0.512910099124739 × 6371000     		do = 626.558431309742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35492480--0.35473306) × cos(1.03212662) × R
    0.000191739999999996 × 0.512994533030845 × 6371000     		du = 626.661573704189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03222498)-sin(1.03212662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512910099124739-0.512994533030845)×R²
    abs(-0.35473306--0.35492480)×8.44339061064625e-05×R²
    0.000191739999999996×8.44339061064625e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.44339061064625e-05×40589641000000     		ar = 392666.135899664m²