Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14533 / 11196
↖ ↑ ↗
← N 75.590406°
W100.167847°		 ← 152 m → N 75.590406°
W100.162354°		 →
↑
152.01 m
↓
↑
152.01 m
↓
N 75.589039°
W100.167847°		 ← 152.01 m →
23 106 m²		 N 75.589039°
W100.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221763610839844 y=0.170845031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221763610839844 × 216)
    floor (0.221763610839844 × 65536)
    floor (14533.5)     		tx = 14533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170845031738281 × 216)
    floor (0.170845031738281 × 65536)
    floor (11196.5)     		ty = 11196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14533 / 11196 ti = "16/14533/11196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14533/11196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14533 ÷ 216
    14533 ÷ 65536     		x = 0.221755981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11196 ÷ 216
    11196 ÷ 65536     		y = 0.17083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221755981445312 × 2 - 1) × π
    -0.556488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74825873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17083740234375 × 2 - 1) × π
    0.6583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0681895972077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74825873} λ = -1.74825873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0681895972077))-π/2
    2×atan(7.91048897514954)-π/2
    2×1.44504890038622-π/2
    2.89009780077244-1.57079632675     		φ = 1.31930147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74825873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.167847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31930147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.590406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14533 KachelY 11196 -1.74825873 1.31930147 -100.167847 75.590406
    Oben rechts KachelX + 1 14534 KachelY 11196 -1.74816286 1.31930147 -100.162354 75.590406
    Unten links KachelX 14533 KachelY + 1 11197 -1.74825873 1.31927761 -100.167847 75.589039
    Unten rechts KachelX + 1 14534 KachelY + 1 11197 -1.74816286 1.31927761 -100.162354 75.589039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31930147-1.31927761) × R
    2.38599999999867e-05 × 6371000     		dl = 152.012059999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31930147-1.31927761) × R
    2.38599999999867e-05 × 6371000     		dr = 152.012059999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74825873--1.74816286) × cos(1.31930147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24885206760835 × 6371000     		do = 151.99579943439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74825873--1.74816286) × cos(1.31927761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24887517693784 × 6371000     		du = 152.009914330215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31930147)-sin(1.31927761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24885206760835-0.24887517693784)×R²
    abs(-1.74816286--1.74825873)×2.31093294903728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31093294903728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31093294903728e-05×40589641000000     		ar = 23106.2674018346m²