Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14531 / 9670
↖ ↑ ↗
← N 59.142135°
W 20.357666°		 ← 626.59 m → N 59.142135°
W 20.346680°		 →
↑
626.65 m
↓
↑
626.65 m
↓
N 59.136499°
W 20.357666°		 ← 626.69 m →
392 687 m²		 N 59.136499°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443466186523438 y=0.295120239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443466186523438 × 215)
    floor (0.443466186523438 × 32768)
    floor (14531.5)     		tx = 14531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295120239257812 × 215)
    floor (0.295120239257812 × 32768)
    floor (9670.5)     		ty = 9670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14531 / 9670 ti = "15/14531/9670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14531/9670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14531 ÷ 215
    14531 ÷ 32768     		x = 0.443450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9670 ÷ 215
    9670 ÷ 32768     		y = 0.29510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.11309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35530830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29510498046875 × 2 - 1) × π
    0.4097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28739337619623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35530830} λ = -0.35530830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28739337619623))-π/2
    2×atan(3.62332957858806)-π/2
    2×1.30151065415392-π/2
    2.60302130830784-1.57079632675     		φ = 1.03222498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35530830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.357666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03222498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.142135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14531 KachelY 9670 -0.35530830 1.03222498 -20.357666 59.142135
    Oben rechts KachelX + 1 14532 KachelY 9670 -0.35511655 1.03222498 -20.346680 59.142135
    Unten links KachelX 14531 KachelY + 1 9671 -0.35530830 1.03212662 -20.357666 59.136499
    Unten rechts KachelX + 1 14532 KachelY + 1 9671 -0.35511655 1.03212662 -20.346680 59.136499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03222498-1.03212662) × R
    9.8359999999964e-05 × 6371000     		dl = 626.651559999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03222498-1.03212662) × R
    9.8359999999964e-05 × 6371000     		dr = 626.651559999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35530830--0.35511655) × cos(1.03222498) × R
    0.000191750000000046 × 0.512910099124739 × 6371000     		do = 626.591108812322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35530830--0.35511655) × cos(1.03212662) × R
    0.000191750000000046 × 0.512994533030845 × 6371000     		du = 626.694256586052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03222498)-sin(1.03212662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512910099124739-0.512994533030845)×R²
    abs(-0.35511655--0.35530830)×8.44339061064625e-05×R²
    0.000191750000000046×8.44339061064625e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.44339061064625e-05×40589641000000     		ar = 392686.614993117m²