Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14531 / 10667
↖ ↑ ↗
← N 76.296050°
W100.178833°		 ← 144.71 m → N 76.296050°
W100.173340°		 →
↑
144.75 m
↓
↑
144.75 m
↓
N 76.294748°
W100.178833°		 ← 144.73 m →
20 948 m²		 N 76.294748°
W100.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221733093261719 y=0.162773132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221733093261719 × 216)
    floor (0.221733093261719 × 65536)
    floor (14531.5)     		tx = 14531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162773132324219 × 216)
    floor (0.162773132324219 × 65536)
    floor (10667.5)     		ty = 10667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14531 / 10667 ti = "16/14531/10667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14531/10667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14531 ÷ 216
    14531 ÷ 65536     		x = 0.221725463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10667 ÷ 216
    10667 ÷ 65536     		y = 0.162765502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221725463867188 × 2 - 1) × π
    -0.556549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74845048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162765502929688 × 2 - 1) × π
    0.674468994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11890683700572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74845048} λ = -1.74845048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11890683700572))-π/2
    2×atan(8.32203517254939)-π/2
    2×1.45120680214664-π/2
    2.90241360429328-1.57079632675     		φ = 1.33161728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74845048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.178833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33161728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.296050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14531 KachelY 10667 -1.74845048 1.33161728 -100.178833 76.296050
    Oben rechts KachelX + 1 14532 KachelY 10667 -1.74835460 1.33161728 -100.173340 76.296050
    Unten links KachelX 14531 KachelY + 1 10668 -1.74845048 1.33159456 -100.178833 76.294748
    Unten rechts KachelX + 1 14532 KachelY + 1 10668 -1.74835460 1.33159456 -100.173340 76.294748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33161728-1.33159456) × R
    2.27199999998096e-05 × 6371000     		dl = 144.749119998787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33161728-1.33159456) × R
    2.27199999998096e-05 × 6371000     		dr = 144.749119998787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74845048--1.74835460) × cos(1.33161728) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236905123391492 × 6371000     		do = 144.713845243181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74845048--1.74835460) × cos(1.33159456) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.236927196555339 × 6371000     		du = 144.727328667985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33161728)-sin(1.33159456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236905123391492-0.236927196555339)×R²
    abs(-1.74835460--1.74845048)×2.20731638471416e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.20731638471416e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.20731638471416e-05×40589641000000     		ar = 20948.1776085919m²