Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14530 / 9664
↖ ↑ ↗
← N 59.175928°
W 20.368652°		 ← 625.97 m → N 59.175928°
W 20.357666°		 →
↑
626.01 m
↓
↑
626.01 m
↓
N 59.170299°
W 20.368652°		 ← 626.08 m →
391 900 m²		 N 59.170299°
W 20.357666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443435668945312 y=0.294937133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443435668945312 × 215)
    floor (0.443435668945312 × 32768)
    floor (14530.5)     		tx = 14530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294937133789062 × 215)
    floor (0.294937133789062 × 32768)
    floor (9664.5)     		ty = 9664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14530 / 9664 ti = "15/14530/9664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14530/9664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14530 ÷ 215
    14530 ÷ 32768     		x = 0.44342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9664 ÷ 215
    9664 ÷ 32768     		y = 0.294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35550005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294921875 × 2 - 1) × π
    0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35550005} λ = -0.35550005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28854386178711))-π/2
    2×atan(3.6275005659296)-π/2
    2×1.30180555632487-π/2
    2.60361111264973-1.57079632675     		φ = 1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35550005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.368652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14530 KachelY 9664 -0.35550005 1.03281479 -20.368652 59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 14531 KachelY 9664 -0.35530830 1.03281479 -20.357666 59.175928
    Unten links KachelX 14530 KachelY + 1 9665 -0.35550005 1.03271653 -20.368652 59.170299
    Unten rechts KachelX + 1 14531 KachelY + 1 9665 -0.35530830 1.03271653 -20.357666 59.170299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03281479-1.03271653) × R
    9.82599999999056e-05 × 6371000     		dl = 626.014459999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03281479-1.03271653) × R
    9.82599999999056e-05 × 6371000     		dr = 626.014459999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35550005--0.35530830) × cos(1.03281479) × R
    0.000191749999999991 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 625.972462077843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35550005--0.35530830) × cos(1.03271653) × R
    0.000191749999999991 × 0.512488069850457 × 6371000     		du = 626.07554128603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03281479)-sin(1.03271653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.512488069850457)×R²
    abs(-0.35530830--0.35550005)×8.43777802542744e-05×R²
    0.000191749999999991×8.43777802542744e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.43777802542744e-05×40589641000000     		ar = 391900.077675543m²