Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14530 / 21618
↖ ↑ ↗
← S 49.738682°
W 20.368652°		 ← 789.51 m → S 49.738682°
W 20.357666°		 →
↑
789.43 m
↓
↑
789.43 m
↓
S 49.745781°
W 20.368652°		 ← 789.40 m →
623 221 m²		 S 49.745781°
W 20.357666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443435668945312 y=0.659744262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443435668945312 × 215)
    floor (0.443435668945312 × 32768)
    floor (14530.5)     		tx = 14530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659744262695312 × 215)
    floor (0.659744262695312 × 32768)
    floor (21618.5)     		ty = 21618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14530 / 21618 ti = "15/14530/21618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14530/21618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14530 ÷ 215
    14530 ÷ 32768     		x = 0.44342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21618 ÷ 215
    21618 ÷ 32768     		y = 0.65972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35550005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.3194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0036069304455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35550005} λ = -0.35550005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0036069304455))-π/2
    2×atan(0.366554915786278)-π/2
    2×0.351346283303374-π/2
    0.702692566606748-1.57079632675     		φ = -0.86810376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35550005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.368652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86810376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.738682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14530 KachelY 21618 -0.35550005 -0.86810376 -20.368652 -49.738682
    Oben rechts KachelX + 1 14531 KachelY 21618 -0.35530830 -0.86810376 -20.357666 -49.738682
    Unten links KachelX 14530 KachelY + 1 21619 -0.35550005 -0.86822767 -20.368652 -49.745781
    Unten rechts KachelX + 1 14531 KachelY + 1 21619 -0.35530830 -0.86822767 -20.357666 -49.745781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86810376--0.86822767) × R
    0.000123910000000005 × 6371000     		dl = 789.430610000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86810376--0.86822767) × R
    0.000123910000000005 × 6371000     		dr = 789.430610000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35550005--0.35530830) × cos(-0.86810376) × R
    0.000191749999999991 × 0.646274738165481 × 6371000     		do = 789.514586426385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35550005--0.35530830) × cos(-0.86822767) × R
    0.000191749999999991 × 0.64618017688641 × 6371000     		du = 789.399066656342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86810376)-sin(-0.86822767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646274738165481-0.64618017688641)×R²
    abs(-0.35530830--0.35550005)×9.4561279070593e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4561279070593e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4561279070593e-05×40589641000000     		ar = 623221.384942648m²