Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14529 / 21823
↖ ↑ ↗
← S 51.172455°
W 20.379639°		 ← 765.94 m → S 51.172455°
W 20.368652°		 →
↑
765.86 m
↓
↑
765.86 m
↓
S 51.179343°
W 20.379639°		 ← 765.83 m →
586 558 m²		 S 51.179343°
W 20.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443405151367188 y=0.666000366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443405151367188 × 215)
    floor (0.443405151367188 × 32768)
    floor (14529.5)     		tx = 14529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666000366210938 × 215)
    floor (0.666000366210938 × 32768)
    floor (21823.5)     		ty = 21823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14529 / 21823 ti = "15/14529/21823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14529/21823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14529 ÷ 215
    14529 ÷ 32768     		x = 0.443389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21823 ÷ 215
    21823 ÷ 32768     		y = 0.665985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.11322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35569180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.33197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04291518813394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35569180} λ = -0.35569180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04291518813394))-π/2
    2×atan(0.352425795491509)-π/2
    2×0.338834247720693-π/2
    0.677668495441385-1.57079632675     		φ = -0.89312783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35569180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.379639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89312783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.172455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14529 KachelY 21823 -0.35569180 -0.89312783 -20.379639 -51.172455
    Oben rechts KachelX + 1 14530 KachelY 21823 -0.35550005 -0.89312783 -20.368652 -51.172455
    Unten links KachelX 14529 KachelY + 1 21824 -0.35569180 -0.89324804 -20.379639 -51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 14530 KachelY + 1 21824 -0.35550005 -0.89324804 -20.368652 -51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89312783--0.89324804) × R
    0.000120210000000065 × 6371000     		dl = 765.857910000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89312783--0.89324804) × R
    0.000120210000000065 × 6371000     		dr = 765.857910000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35569180--0.35550005) × cos(-0.89312783) × R
    0.000191749999999991 × 0.626978403345483 × 6371000     		do = 765.941426429136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35569180--0.35550005) × cos(-0.89324804) × R
    0.000191749999999991 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 765.827016830001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89312783)-sin(-0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626978403345483-0.626884750821521)×R²
    abs(-0.35550005--0.35569180)×9.36525239625396e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36525239625396e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36525239625396e-05×40589641000000     		ar = 586558.489985397m²