Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14528 / 21824
↖ ↑ ↗
← S 51.179343°
W 20.390625°		 ← 765.79 m → S 51.179343°
W 20.379639°		 →
↑
765.79 m
↓
↑
765.79 m
↓
S 51.186230°
W 20.390625°		 ← 765.67 m →
586 391 m²		 S 51.186230°
W 20.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443374633789062 y=0.666030883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443374633789062 × 215)
    floor (0.443374633789062 × 32768)
    floor (14528.5)     		tx = 14528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666030883789062 × 215)
    floor (0.666030883789062 × 32768)
    floor (21824.5)     		ty = 21824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14528 / 21824 ti = "15/14528/21824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14528/21824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14528 ÷ 215
    14528 ÷ 32768     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21824 ÷ 215
    21824 ÷ 32768     		y = 0.666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666015625 × 2 - 1) × π
    -0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04310693573242))-π/2
    2×atan(0.352358225170011)-π/2
    2×0.338774141408772-π/2
    0.677548282817545-1.57079632675     		φ = -0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14528 KachelY 21824 -0.35588354 -0.89324804 -20.390625 -51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 14529 KachelY 21824 -0.35569180 -0.89324804 -20.379639 -51.179343
    Unten links KachelX 14528 KachelY + 1 21825 -0.35588354 -0.89336824 -20.390625 -51.186230
    Unten rechts KachelX + 1 14529 KachelY + 1 21825 -0.35569180 -0.89336824 -20.379639 -51.186230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89324804--0.89336824) × R
    0.000120200000000015 × 6371000     		dl = 765.794200000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89324804--0.89336824) × R
    0.000120200000000015 × 6371000     		dr = 765.794200000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35569180) × cos(-0.89324804) × R
    0.000191739999999996 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 765.787078002548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35569180) × cos(-0.89336824) × R
    0.000191739999999996 × 0.626791097030668 × 6371000     		du = 765.672672822414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89324804)-sin(-0.89336824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.626791097030668)×R²
    abs(-0.35569180--0.35588354)×9.36537908521329e-05×R²
    0.000191739999999996×9.36537908521329e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.36537908521329e-05×40589641000000     		ar = 586391.498063608m²