Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14528 / 11200
↖ ↑ ↗
← N 75.584937°
W100.195313°		 ← 152.07 m → N 75.584937°
W100.189819°		 →
↑
152.08 m
↓
↑
152.08 m
↓
N 75.583570°
W100.195313°		 ← 152.08 m →
23 127 m²		 N 75.583570°
W100.189819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221687316894531 y=0.170906066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221687316894531 × 216)
    floor (0.221687316894531 × 65536)
    floor (14528.5)     		tx = 14528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170906066894531 × 216)
    floor (0.170906066894531 × 65536)
    floor (11200.5)     		ty = 11200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14528 / 11200 ti = "16/14528/11200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14528/11200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14528 ÷ 216
    14528 ÷ 65536     		x = 0.2216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11200 ÷ 216
    11200 ÷ 65536     		y = 0.1708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1708984375 × 2 - 1) × π
    0.658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06780610201074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74873810} λ = -1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06780610201074))-π/2
    2×atan(7.90745592223974)-π/2
    2×1.44500117473785-π/2
    2.89000234947569-1.57079632675     		φ = 1.31920602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31920602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.584937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14528 KachelY 11200 -1.74873810 1.31920602 -100.195313 75.584937
    Oben rechts KachelX + 1 14529 KachelY 11200 -1.74864222 1.31920602 -100.189819 75.584937
    Unten links KachelX 14528 KachelY + 1 11201 -1.74873810 1.31918215 -100.195313 75.583570
    Unten rechts KachelX + 1 14529 KachelY + 1 11201 -1.74864222 1.31918215 -100.189819 75.583570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31920602-1.31918215) × R
    2.38699999999259e-05 × 6371000     		dl = 152.075769999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31920602-1.31918215) × R
    2.38699999999259e-05 × 6371000     		dr = 152.075769999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74873810--1.74864222) × cos(1.31920602) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.248944513761329 × 6371000     		do = 152.068124668888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74873810--1.74864222) × cos(1.31918215) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.248967632209061 × 6371000     		du = 152.082246606901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31920602)-sin(1.31918215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248944513761329-0.248967632209061)×R²
    abs(-1.74864222--1.74873810)×2.3118447731868e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.3118447731868e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.3118447731868e-05×40589641000000     		ar = 23126.9509545645m²