Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14527 / 7045
↖ ↑ ↗
← N 71.056231°
W 20.401611°		 ← 396.59 m → N 71.056231°
W 20.390625°		 →
↑
396.59 m
↓
↑
396.59 m
↓
N 71.052665°
W 20.401611°		 ← 396.66 m →
157 301 m²		 N 71.052665°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443344116210938 y=0.215011596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443344116210938 × 215)
    floor (0.443344116210938 × 32768)
    floor (14527.5)     		tx = 14527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215011596679688 × 215)
    floor (0.215011596679688 × 32768)
    floor (7045.5)     		ty = 7045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14527 / 7045 ti = "15/14527/7045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14527/7045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14527 ÷ 215
    14527 ÷ 32768     		x = 0.443328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7045 ÷ 215
    7045 ÷ 32768     		y = 0.214996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443328857421875 × 2 - 1) × π
    -0.11334228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35607529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214996337890625 × 2 - 1) × π
    0.57000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79073082220682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35607529} λ = -0.35607529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79073082220682))-π/2
    2×atan(5.99383129112851)-π/2
    2×1.40548076057635-π/2
    2.81096152115271-1.57079632675     		φ = 1.24016519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35607529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24016519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.056231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14527 KachelY 7045 -0.35607529 1.24016519 -20.401611 71.056231
    Oben rechts KachelX + 1 14528 KachelY 7045 -0.35588354 1.24016519 -20.390625 71.056231
    Unten links KachelX 14527 KachelY + 1 7046 -0.35607529 1.24010294 -20.401611 71.052665
    Unten rechts KachelX + 1 14528 KachelY + 1 7046 -0.35588354 1.24010294 -20.390625 71.052665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24016519-1.24010294) × R
    6.22499999998194e-05 × 6371000     		dl = 396.594749998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24016519-1.24010294) × R
    6.22499999998194e-05 × 6371000     		dr = 396.594749998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35607529--0.35588354) × cos(1.24016519) × R
    0.000191749999999991 × 0.32464004594914 × 6371000     		do = 396.593022253254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35607529--0.35588354) × cos(1.24010294) × R
    0.000191749999999991 × 0.324698923713169 × 6371000     		du = 396.664949640744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24016519)-sin(1.24010294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32464004594914-0.324698923713169)×R²
    abs(-0.35588354--0.35607529)×5.88777640293525e-05×R²
    0.000191749999999991×5.88777640293525e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.88777640293525e-05×40589641000000     		ar = 157300.973574894m²