Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14527 / 21573
↖ ↑ ↗
← S 49.418121°
W 20.401611°		 ← 794.72 m → S 49.418121°
W 20.390625°		 →
↑
794.65 m
↓
↑
794.65 m
↓
S 49.425267°
W 20.401611°		 ← 794.60 m →
631 480 m²		 S 49.425267°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443344116210938 y=0.658370971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443344116210938 × 215)
    floor (0.443344116210938 × 32768)
    floor (14527.5)     		tx = 14527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658370971679688 × 215)
    floor (0.658370971679688 × 32768)
    floor (21573.5)     		ty = 21573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14527 / 21573 ti = "15/14527/21573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14527/21573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14527 ÷ 215
    14527 ÷ 32768     		x = 0.443328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21573 ÷ 215
    21573 ÷ 32768     		y = 0.658355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443328857421875 × 2 - 1) × π
    -0.11334228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35607529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.31671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.994978288513885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35607529} λ = -0.35607529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994978288513885))-π/2
    2×atan(0.369731471876634)-π/2
    2×0.3541437052194-π/2
    0.708287410438801-1.57079632675     		φ = -0.86250892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35607529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86250892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.418121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14527 KachelY 21573 -0.35607529 -0.86250892 -20.401611 -49.418121
    Oben rechts KachelX + 1 14528 KachelY 21573 -0.35588354 -0.86250892 -20.390625 -49.418121
    Unten links KachelX 14527 KachelY + 1 21574 -0.35607529 -0.86263365 -20.401611 -49.425267
    Unten rechts KachelX + 1 14528 KachelY + 1 21574 -0.35588354 -0.86263365 -20.390625 -49.425267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86250892--0.86263365) × R
    0.000124730000000017 × 6371000     		dl = 794.65483000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86250892--0.86263365) × R
    0.000124730000000017 × 6371000     		dr = 794.65483000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35607529--0.35588354) × cos(-0.86250892) × R
    0.000191749999999991 × 0.650534050354578 × 6371000     		do = 794.71792937459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35607529--0.35588354) × cos(-0.86263365) × R
    0.000191749999999991 × 0.650439315717097 × 6371000     		du = 794.602197823108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86250892)-sin(-0.86263365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650534050354578-0.650439315717097)×R²
    abs(-0.35588354--0.35607529)×9.47346374812197e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47346374812197e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47346374812197e-05×40589641000000     		ar = 631480.458565731m²