Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14527 / 11199
↖ ↑ ↗
← N 75.586305°
W100.200806°		 ← 152.04 m → N 75.586305°
W100.195313°		 →
↑
152.08 m
↓
↑
152.08 m
↓
N 75.584937°
W100.200806°		 ← 152.05 m →
23 122 m²		 N 75.584937°
W100.195313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221672058105469 y=0.170890808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221672058105469 × 216)
    floor (0.221672058105469 × 65536)
    floor (14527.5)     		tx = 14527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170890808105469 × 216)
    floor (0.170890808105469 × 65536)
    floor (11199.5)     		ty = 11199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14527 / 11199 ti = "16/14527/11199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14527/11199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14527 ÷ 216
    14527 ÷ 65536     		x = 0.221664428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11199 ÷ 216
    11199 ÷ 65536     		y = 0.170883178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221664428710938 × 2 - 1) × π
    -0.556671142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74883397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170883178710938 × 2 - 1) × π
    0.658233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06790197580998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74883397} λ = -1.74883397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06790197580998))-π/2
    2×atan(7.90821407642431)-π/2
    2×1.44501310781185-π/2
    2.89002621562371-1.57079632675     		φ = 1.31922989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74883397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.200806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31922989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.586305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14527 KachelY 11199 -1.74883397 1.31922989 -100.200806 75.586305
    Oben rechts KachelX + 1 14528 KachelY 11199 -1.74873810 1.31922989 -100.195313 75.586305
    Unten links KachelX 14527 KachelY + 1 11200 -1.74883397 1.31920602 -100.200806 75.584937
    Unten rechts KachelX + 1 14528 KachelY + 1 11200 -1.74873810 1.31920602 -100.195313 75.584937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31922989-1.31920602) × R
    2.38699999999259e-05 × 6371000     		dl = 152.075769999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31922989-1.31920602) × R
    2.38699999999259e-05 × 6371000     		dr = 152.075769999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74883397--1.74873810) × cos(1.31922989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.248921395171754 × 6371000     		do = 152.038143862241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74883397--1.74873810) × cos(1.31920602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.248944513761329 × 6371000     		du = 152.052264414013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31922989)-sin(1.31920602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248921395171754-0.248944513761329)×R²
    abs(-1.74873810--1.74883397)×2.31185895747388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31185895747388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31185895747388e-05×40589641000000     		ar = 23122.3914954165m²