Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14526 / 16970
↖ ↑ ↗
← N 78.864745°
W140.103149°		 ← 58.99 m → N 78.864745°
W140.100403°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.864215°
W140.103149°		 ← 58.99 m →
3 480 m²		 N 78.864215°
W140.100403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.110828399658203 y=0.129474639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.110828399658203 × 217)
    floor (0.110828399658203 × 131072)
    floor (14526.5)     		tx = 14526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129474639892578 × 217)
    floor (0.129474639892578 × 131072)
    floor (16970.5)     		ty = 16970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14526 / 16970 ti = "17/14526/16970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14526/16970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14526 ÷ 217
    14526 ÷ 131072     		x = 0.110824584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16970 ÷ 217
    16970 ÷ 131072     		y = 0.129470825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.110824584960938 × 2 - 1) × π
    -0.778350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.44526125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129470825195312 × 2 - 1) × π
    0.741058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32810346694765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44526125} λ = -2.44526125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32810346694765))-π/2
    2×atan(10.2584675495796)-π/2
    2×1.47362289873653-π/2
    2.94724579747307-1.57079632675     		φ = 1.37644947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44526125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.103149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37644947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.864745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14526 KachelY 16970 -2.44526125 1.37644947 -140.103149 78.864745
    Oben rechts KachelX + 1 14527 KachelY 16970 -2.44521331 1.37644947 -140.100403 78.864745
    Unten links KachelX 14526 KachelY + 1 16971 -2.44526125 1.37644021 -140.103149 78.864215
    Unten rechts KachelX + 1 14527 KachelY + 1 16971 -2.44521331 1.37644021 -140.100403 78.864215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37644947-1.37644021) × R
    9.26000000012195e-06 × 6371000     		dl = 58.9954600007769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37644947-1.37644021) × R
    9.26000000012195e-06 × 6371000     		dr = 58.9954600007769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44526125--2.44521331) × cos(1.37644947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193125729058714 × 6371000     		do = 58.9855687107584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44526125--2.44521331) × cos(1.37644021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193134814721836 × 6371000     		du = 58.9883437061411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37644947)-sin(1.37644021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193125729058714-0.193134814721836)×R²
    abs(-2.44521331--2.44526125)×9.08566312277093e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.08566312277093e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.08566312277093e-06×40589641000000     		ar = 3479.96261551476m²