Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14526 / 16968
↖ ↑ ↗
← N 78.865806°
W140.103149°		 ← 58.98 m → N 78.865806°
W140.100403°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.865276°
W140.103149°		 ← 58.98 m →
3 480 m²		 N 78.865276°
W140.100403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.110828399658203 y=0.129459381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.110828399658203 × 217)
    floor (0.110828399658203 × 131072)
    floor (14526.5)     		tx = 14526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129459381103516 × 217)
    floor (0.129459381103516 × 131072)
    floor (16968.5)     		ty = 16968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14526 / 16968 ti = "17/14526/16968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14526/16968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14526 ÷ 217
    14526 ÷ 131072     		x = 0.110824584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16968 ÷ 217
    16968 ÷ 131072     		y = 0.12945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.110824584960938 × 2 - 1) × π
    -0.778350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.44526125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12945556640625 × 2 - 1) × π
    0.7410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32819934074689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44526125} λ = -2.44526125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32819934074689))-π/2
    2×atan(10.2594511149863)-π/2
    2×1.47363215614976-π/2
    2.94726431229953-1.57079632675     		φ = 1.37646799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44526125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.103149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37646799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.865806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14526 KachelY 16968 -2.44526125 1.37646799 -140.103149 78.865806
    Oben rechts KachelX + 1 14527 KachelY 16968 -2.44521331 1.37646799 -140.100403 78.865806
    Unten links KachelX 14526 KachelY + 1 16969 -2.44526125 1.37645873 -140.103149 78.865276
    Unten rechts KachelX + 1 14527 KachelY + 1 16969 -2.44521331 1.37645873 -140.100403 78.865276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37646799-1.37645873) × R
    9.26000000012195e-06 × 6371000     		dl = 58.9954600007769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37646799-1.37645873) × R
    9.26000000012195e-06 × 6371000     		dr = 58.9954600007769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44526125--2.44521331) × cos(1.37646799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193107557682789 × 6371000     		do = 58.9800187048198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44526125--2.44521331) × cos(1.37645873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193116643379031 × 6371000     		du = 58.982793710318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37646799)-sin(1.37645873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193107557682789-0.193116643379031)×R²
    abs(-2.44521331--2.44526125)×9.08569624211153e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.08569624211153e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.08569624211153e-06×40589641000000     		ar = 3479.63519076456m²