Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14525 / 7013
↖ ↑ ↗
← N 71.170032°
W 20.423584°		 ← 394.30 m → N 71.170032°
W 20.412598°		 →
↑
394.30 m
↓
↑
394.30 m
↓
N 71.166486°
W 20.423584°		 ← 394.37 m →
155 486 m²		 N 71.166486°
W 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443283081054688 y=0.214035034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443283081054688 × 215)
    floor (0.443283081054688 × 32768)
    floor (14525.5)     		tx = 14525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214035034179688 × 215)
    floor (0.214035034179688 × 32768)
    floor (7013.5)     		ty = 7013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14525 / 7013 ti = "15/14525/7013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14525/7013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14525 ÷ 215
    14525 ÷ 32768     		x = 0.443267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7013 ÷ 215
    7013 ÷ 32768     		y = 0.214019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.11346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35645879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214019775390625 × 2 - 1) × π
    0.57196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79686674535818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35645879} λ = -0.35645879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79686674535818))-π/2
    2×atan(6.03072204297902)-π/2
    2×1.40647385854211-π/2
    2.81294771708423-1.57079632675     		φ = 1.24215139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35645879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.423584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24215139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.170032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14525 KachelY 7013 -0.35645879 1.24215139 -20.423584 71.170032
    Oben rechts KachelX + 1 14526 KachelY 7013 -0.35626704 1.24215139 -20.412598 71.170032
    Unten links KachelX 14525 KachelY + 1 7014 -0.35645879 1.24208950 -20.423584 71.166486
    Unten rechts KachelX + 1 14526 KachelY + 1 7014 -0.35626704 1.24208950 -20.412598 71.166486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24215139-1.24208950) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dl = 394.301190000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24215139-1.24208950) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dr = 394.301190000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35645879--0.35626704) × cos(1.24215139) × R
    0.000191750000000046 × 0.322760784113743 × 6371000     		do = 394.29724223422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35645879--0.35626704) × cos(1.24208950) × R
    0.000191750000000046 × 0.32281936117826 × 6371000     		du = 394.368802275384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24215139)-sin(1.24208950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322760784113743-0.32281936117826)×R²
    abs(-0.35626704--0.35645879)×5.85770645169514e-05×R²
    0.000191750000000046×5.85770645169514e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.85770645169514e-05×40589641000000     		ar = 155485.979981615m²