Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14524 / 9468
↖ ↑ ↗
← N 77.772237°
W100.217285°		 ← 129.36 m → N 77.772237°
W100.211792°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
N 77.771074°
W100.217285°		 ← 129.38 m →
16 732 m²		 N 77.771074°
W100.211792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221626281738281 y=0.144477844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221626281738281 × 216)
    floor (0.221626281738281 × 65536)
    floor (14524.5)     		tx = 14524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144477844238281 × 216)
    floor (0.144477844238281 × 65536)
    floor (9468.5)     		ty = 9468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14524 / 9468 ti = "16/14524/9468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14524/9468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14524 ÷ 216
    14524 ÷ 65536     		x = 0.22161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9468 ÷ 216
    9468 ÷ 65536     		y = 0.14447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.5567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74912159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14447021484375 × 2 - 1) × π
    0.7110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23385952229462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74912159} λ = -1.74912159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23385952229462))-π/2
    2×atan(9.33582847414524)-π/2
    2×1.46408896478085-π/2
    2.92817792956169-1.57079632675     		φ = 1.35738160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74912159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35738160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.772237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14524 KachelY 9468 -1.74912159 1.35738160 -100.217285 77.772237
    Oben rechts KachelX + 1 14525 KachelY 9468 -1.74902572 1.35738160 -100.211792 77.772237
    Unten links KachelX 14524 KachelY + 1 9469 -1.74912159 1.35736130 -100.217285 77.771074
    Unten rechts KachelX + 1 14525 KachelY + 1 9469 -1.74902572 1.35736130 -100.211792 77.771074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35738160-1.35736130) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dl = 129.331300000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35738160-1.35736130) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dr = 129.331300000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74912159--1.74902572) × cos(1.35738160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21179838636902 × 6371000     		do = 129.363864099929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74912159--1.74902572) × cos(1.35736130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211818225787001 × 6371000     		du = 129.375981773796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35738160)-sin(1.35736130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21179838636902-0.211818225787001)×R²
    abs(-1.74902572--1.74912159)×1.98394179810601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98394179810601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98394179810601e-05×40589641000000     		ar = 16731.5803151571m²