Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14522 / 7022
↖ ↑ ↗
← N 71.138093°
W 20.456543°		 ← 394.94 m → N 71.138093°
W 20.445557°		 →
↑
395 m
↓
↑
395 m
↓
N 71.134540°
W 20.456543°		 ← 395.01 m →
156 017 m²		 N 71.134540°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443191528320312 y=0.214309692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443191528320312 × 215)
    floor (0.443191528320312 × 32768)
    floor (14522.5)     		tx = 14522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214309692382812 × 215)
    floor (0.214309692382812 × 32768)
    floor (7022.5)     		ty = 7022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14522 / 7022 ti = "15/14522/7022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14522/7022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14522 ÷ 215
    14522 ÷ 32768     		x = 0.44317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7022 ÷ 215
    7022 ÷ 32768     		y = 0.21429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35703403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21429443359375 × 2 - 1) × π
    0.5714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79514101697186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35703403} λ = -0.35703403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79514101697186))-π/2
    2×atan(6.02032362975853)-π/2
    2×1.40619513226382-π/2
    2.81239026452764-1.57079632675     		φ = 1.24159394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35703403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24159394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.138093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14522 KachelY 7022 -0.35703403 1.24159394 -20.456543 71.138093
    Oben rechts KachelX + 1 14523 KachelY 7022 -0.35684228 1.24159394 -20.445557 71.138093
    Unten links KachelX 14522 KachelY + 1 7023 -0.35703403 1.24153194 -20.456543 71.134540
    Unten rechts KachelX + 1 14523 KachelY + 1 7023 -0.35684228 1.24153194 -20.445557 71.134540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24159394-1.24153194) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dl = 395.002000000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24159394-1.24153194) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dr = 395.002000000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35703403--0.35684228) × cos(1.24159394) × R
    0.000191749999999991 × 0.323288349533144 × 6371000     		do = 394.941736857389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35703403--0.35684228) × cos(1.24153194) × R
    0.000191749999999991 × 0.323347019542968 × 6371000     		du = 395.013410444187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24159394)-sin(1.24153194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323288349533144-0.323347019542968)×R²
    abs(-0.35684228--0.35703403)×5.86700098235138e-05×R²
    0.000191749999999991×5.86700098235138e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.86700098235138e-05×40589641000000     		ar = 156016.931597m²