Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14522 / 21578
↖ ↑ ↗
← S 49.453843°
W 20.456543°		 ← 794.14 m → S 49.453843°
W 20.445557°		 →
↑
794.08 m
↓
↑
794.08 m
↓
S 49.460984°
W 20.456543°		 ← 794.02 m →
630 565 m²		 S 49.460984°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443191528320312 y=0.658523559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443191528320312 × 215)
    floor (0.443191528320312 × 32768)
    floor (14522.5)     		tx = 14522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658523559570312 × 215)
    floor (0.658523559570312 × 32768)
    floor (21578.5)     		ty = 21578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14522 / 21578 ti = "15/14522/21578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14522/21578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14522 ÷ 215
    14522 ÷ 32768     		x = 0.44317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21578 ÷ 215
    21578 ÷ 32768     		y = 0.65850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35703403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.3170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.995937026506287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35703403} λ = -0.35703403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995937026506287))-π/2
    2×atan(0.369377166137885)-π/2
    2×0.353831972889658-π/2
    0.707663945779316-1.57079632675     		φ = -0.86313238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35703403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86313238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.453843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14522 KachelY 21578 -0.35703403 -0.86313238 -20.456543 -49.453843
    Oben rechts KachelX + 1 14523 KachelY 21578 -0.35684228 -0.86313238 -20.445557 -49.453843
    Unten links KachelX 14522 KachelY + 1 21579 -0.35703403 -0.86325702 -20.456543 -49.460984
    Unten rechts KachelX + 1 14523 KachelY + 1 21579 -0.35684228 -0.86325702 -20.445557 -49.460984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86313238--0.86325702) × R
    0.000124640000000009 × 6371000     		dl = 794.081440000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86313238--0.86325702) × R
    0.000124640000000009 × 6371000     		dr = 794.081440000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35703403--0.35684228) × cos(-0.86313238) × R
    0.000191749999999991 × 0.650060420367034 × 6371000     		do = 794.139324391829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35703403--0.35684228) × cos(-0.86325702) × R
    0.000191749999999991 × 0.649965703560135 × 6371000     		du = 794.023614622886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86313238)-sin(-0.86325702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650060420367034-0.649965703560135)×R²
    abs(-0.35684228--0.35703403)×9.47168068990978e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47168068990978e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47168068990978e-05×40589641000000     		ar = 630565.357600232m²