Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14520 / 7011
↖ ↑ ↗
← N 71.177123°
W 20.478515°		 ← 394.13 m → N 71.177123°
W 20.467530°		 →
↑
394.24 m
↓
↑
394.24 m
↓
N 71.173578°
W 20.478515°		 ← 394.21 m →
155 396 m²		 N 71.173578°
W 20.467530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443130493164062 y=0.213973999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443130493164062 × 215)
    floor (0.443130493164062 × 32768)
    floor (14520.5)     		tx = 14520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213973999023438 × 215)
    floor (0.213973999023438 × 32768)
    floor (7011.5)     		ty = 7011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14520 / 7011 ti = "15/14520/7011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14520/7011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14520 ÷ 215
    14520 ÷ 32768     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7011 ÷ 215
    7011 ÷ 32768     		y = 0.213958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213958740234375 × 2 - 1) × π
    0.57208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79725024055515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79725024055515))-π/2
    2×atan(6.03303523943823)-π/2
    2×1.40653573591662-π/2
    2.81307147183325-1.57079632675     		φ = 1.24227515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24227515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.177123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14520 KachelY 7011 -0.35741752 1.24227515 -20.478515 71.177123
    Oben rechts KachelX + 1 14521 KachelY 7011 -0.35722578 1.24227515 -20.467530 71.177123
    Unten links KachelX 14520 KachelY + 1 7012 -0.35741752 1.24221327 -20.478515 71.173578
    Unten rechts KachelX + 1 14521 KachelY + 1 7012 -0.35722578 1.24221327 -20.467530 71.173578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24227515-1.24221327) × R
    6.18800000000697e-05 × 6371000     		dl = 394.237480000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24227515-1.24221327) × R
    6.18800000000697e-05 × 6371000     		dr = 394.237480000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35722578) × cos(1.24227515) × R
    0.000191739999999996 × 0.322643645206462 × 6371000     		do = 394.133585120644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35722578) × cos(1.24221327) × R
    0.000191739999999996 × 0.322702215277938 × 6371000     		du = 394.205132887335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24227515)-sin(1.24221327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322643645206462-0.322702215277938)×R²
    abs(-0.35722578--0.35741752)×5.85700714755832e-05×R²
    0.000191739999999996×5.85700714755832e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.85700714755832e-05×40589641000000     		ar = 155396.334837454m²