Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14520 / 10520
↖ ↑ ↗
← N 76.486046°
W100.239258°		 ← 142.75 m → N 76.486046°
W100.233764°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
N 76.484762°
W100.239258°		 ← 142.76 m →
20 381 m²		 N 76.484762°
W100.233764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221565246582031 y=0.160530090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221565246582031 × 216)
    floor (0.221565246582031 × 65536)
    floor (14520.5)     		tx = 14520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160530090332031 × 216)
    floor (0.160530090332031 × 65536)
    floor (10520.5)     		ty = 10520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14520 / 10520 ti = "16/14520/10520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14520/10520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14520 ÷ 216
    14520 ÷ 65536     		x = 0.2215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10520 ÷ 216
    10520 ÷ 65536     		y = 0.1605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.556884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74950509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1605224609375 × 2 - 1) × π
    0.678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13300028549402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74950509} λ = -1.74950509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13300028549402))-π/2
    2×atan(8.44015172628291)-π/2
    2×1.45286482722215-π/2
    2.90572965444431-1.57079632675     		φ = 1.33493333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74950509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33493333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.486046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14520 KachelY 10520 -1.74950509 1.33493333 -100.239258 76.486046
    Oben rechts KachelX + 1 14521 KachelY 10520 -1.74940921 1.33493333 -100.233764 76.486046
    Unten links KachelX 14520 KachelY + 1 10521 -1.74950509 1.33491092 -100.239258 76.484762
    Unten rechts KachelX + 1 14521 KachelY + 1 10521 -1.74940921 1.33491092 -100.233764 76.484762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33493333-1.33491092) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dl = 142.774109999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33493333-1.33491092) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dr = 142.774109999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74950509--1.74940921) × cos(1.33493333) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233682175461332 × 6371000     		do = 142.74510273008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74950509--1.74940921) × cos(1.33491092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233703964937798 × 6371000     		du = 142.758412864029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33493333)-sin(1.33491092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233682175461332-0.233703964937798)×R²
    abs(-1.74940921--1.74950509)×2.17894764666382e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.17894764666382e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.17894764666382e-05×40589641000000     		ar = 20381.2551713408m²