Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14519 / 7007
↖ ↑ ↗
← N 71.191296°
W 20.489502°		 ← 393.87 m → N 71.191296°
W 20.478515°		 →
↑
393.92 m
↓
↑
393.92 m
↓
N 71.187754°
W 20.489502°		 ← 393.94 m →
155 166 m²		 N 71.187754°
W 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443099975585938 y=0.213851928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443099975585938 × 215)
    floor (0.443099975585938 × 32768)
    floor (14519.5)     		tx = 14519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213851928710938 × 215)
    floor (0.213851928710938 × 32768)
    floor (7007.5)     		ty = 7007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14519 / 7007 ti = "15/14519/7007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14519/7007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14519 ÷ 215
    14519 ÷ 32768     		x = 0.443084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7007 ÷ 215
    7007 ÷ 32768     		y = 0.213836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443084716796875 × 2 - 1) × π
    -0.11383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35760927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213836669921875 × 2 - 1) × π
    0.57232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79801723094907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35760927} λ = -0.35760927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79801723094907))-π/2
    2×atan(6.03766429450652)-π/2
    2×1.4066594233032-π/2
    2.8133188466064-1.57079632675     		φ = 1.24252252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35760927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.489502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24252252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.191296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14519 KachelY 7007 -0.35760927 1.24252252 -20.489502 71.191296
    Oben rechts KachelX + 1 14520 KachelY 7007 -0.35741752 1.24252252 -20.478515 71.191296
    Unten links KachelX 14519 KachelY + 1 7008 -0.35760927 1.24246069 -20.489502 71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 14520 KachelY + 1 7008 -0.35741752 1.24246069 -20.478515 71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24252252-1.24246069) × R
    6.18300000001515e-05 × 6371000     		dl = 393.918930000965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24252252-1.24246069) × R
    6.18300000001515e-05 × 6371000     		dr = 393.918930000965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35760927--0.35741752) × cos(1.24252252) × R
    0.000191749999999991 × 0.322409494558392 × 6371000     		do = 393.868093125174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35760927--0.35741752) × cos(1.24246069) × R
    0.000191749999999991 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 393.939592836155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24252252)-sin(1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322409494558392-0.322468022238295)×R²
    abs(-0.35741752--0.35760927)×5.85276799031642e-05×R²
    0.000191749999999991×5.85276799031642e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.85276799031642e-05×40589641000000     		ar = 155166.180399204m²