Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14517 / 21616
↖ ↑ ↗
← S 49.724479°
W 20.511475°		 ← 789.75 m → S 49.724479°
W 20.500488°		 →
↑
789.69 m
↓
↑
789.69 m
↓
S 49.731581°
W 20.511475°		 ← 789.63 m →
623 605 m²		 S 49.731581°
W 20.500488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443038940429688 y=0.659683227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443038940429688 × 215)
    floor (0.443038940429688 × 32768)
    floor (14517.5)     		tx = 14517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659683227539062 × 215)
    floor (0.659683227539062 × 32768)
    floor (21616.5)     		ty = 21616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14517 / 21616 ti = "15/14517/21616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14517/21616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14517 ÷ 215
    14517 ÷ 32768     		x = 0.443023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21616 ÷ 215
    21616 ÷ 32768     		y = 0.65966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65966796875 × 2 - 1) × π
    -0.3193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00322343524854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35799277} λ = -0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00322343524854))-π/2
    2×atan(0.366695514793703)-π/2
    2×0.351470223065497-π/2
    0.702940446130993-1.57079632675     		φ = -0.86785588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86785588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.724479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14517 KachelY 21616 -0.35799277 -0.86785588 -20.511475 -49.724479
    Oben rechts KachelX + 1 14518 KachelY 21616 -0.35780102 -0.86785588 -20.500488 -49.724479
    Unten links KachelX 14517 KachelY + 1 21617 -0.35799277 -0.86797983 -20.511475 -49.731581
    Unten rechts KachelX + 1 14518 KachelY + 1 21617 -0.35780102 -0.86797983 -20.500488 -49.731581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86785588--0.86797983) × R
    0.000123949999999984 × 6371000     		dl = 789.685449999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86785588--0.86797983) × R
    0.000123949999999984 × 6371000     		dr = 789.685449999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35799277--0.35780102) × cos(-0.86785588) × R
    0.000191749999999991 × 0.646463876730745 × 6371000     		do = 789.745645521401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35799277--0.35780102) × cos(-0.86797983) × R
    0.000191749999999991 × 0.646369304782345 × 6371000     		du = 789.630112717286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86785588)-sin(-0.86797983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646463876730745-0.646369304782345)×R²
    abs(-0.35780102--0.35799277)×9.45719483997909e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45719483997909e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45719483997909e-05×40589641000000     		ar = 623605.028979393m²