Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14516 / 6996
↖ ↑ ↗
← N 71.230221°
W 20.522461°		 ← 393.06 m → N 71.230221°
W 20.511475°		 →
↑
393.15 m
↓
↑
393.15 m
↓
N 71.226685°
W 20.522461°		 ← 393.13 m →
154 548 m²		 N 71.226685°
W 20.511475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443008422851562 y=0.213516235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443008422851562 × 215)
    floor (0.443008422851562 × 32768)
    floor (14516.5)     		tx = 14516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213516235351562 × 215)
    floor (0.213516235351562 × 32768)
    floor (6996.5)     		ty = 6996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14516 / 6996 ti = "15/14516/6996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14516/6996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14516 ÷ 215
    14516 ÷ 32768     		x = 0.4429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6996 ÷ 215
    6996 ÷ 32768     		y = 0.2135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2135009765625 × 2 - 1) × π
    0.572998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80012645453235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35818451} λ = -0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80012645453235))-π/2
    2×atan(6.05041251812517)-π/2
    2×1.40699910092033-π/2
    2.81399820184065-1.57079632675     		φ = 1.24320188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24320188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.230221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14516 KachelY 6996 -0.35818451 1.24320188 -20.522461 71.230221
    Oben rechts KachelX + 1 14517 KachelY 6996 -0.35799277 1.24320188 -20.511475 71.230221
    Unten links KachelX 14516 KachelY + 1 6997 -0.35818451 1.24314017 -20.522461 71.226685
    Unten rechts KachelX + 1 14517 KachelY + 1 6997 -0.35799277 1.24314017 -20.511475 71.226685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24320188-1.24314017) × R
    6.17099999999926e-05 × 6371000     		dl = 393.154409999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24320188-1.24314017) × R
    6.17099999999926e-05 × 6371000     		dr = 393.154409999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35818451--0.35799277) × cos(1.24320188) × R
    0.000191739999999996 × 0.321766337830865 × 6371000     		do = 393.061887889552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35818451--0.35799277) × cos(1.24314017) × R
    0.000191739999999996 × 0.321824765425337 × 6371000     		du = 393.133261609821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24320188)-sin(1.24314017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321766337830865-0.321824765425337)×R²
    abs(-0.35799277--0.35818451)×5.84275944729429e-05×R²
    0.000191739999999996×5.84275944729429e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.84275944729429e-05×40589641000000     		ar = 154548.045121954m²