Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14514 / 6995
↖ ↑ ↗
← N 71.233755°
W 20.544434°		 ← 393.01 m → N 71.233755°
W 20.533447°		 →
↑
393.03 m
↓
↑
393.03 m
↓
N 71.230221°
W 20.544434°		 ← 393.08 m →
154 478 m²		 N 71.230221°
W 20.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442947387695312 y=0.213485717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442947387695312 × 215)
    floor (0.442947387695312 × 32768)
    floor (14514.5)     		tx = 14514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213485717773438 × 215)
    floor (0.213485717773438 × 32768)
    floor (6995.5)     		ty = 6995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14514 / 6995 ti = "15/14514/6995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14514/6995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14514 ÷ 215
    14514 ÷ 32768     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6995 ÷ 215
    6995 ÷ 32768     		y = 0.213470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213470458984375 × 2 - 1) × π
    0.57305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80031820213083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80031820213083))-π/2
    2×atan(6.05157278143063)-π/2
    2×1.40702994708188-π/2
    2.81405989416377-1.57079632675     		φ = 1.24326357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24326357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.233755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14514 KachelY 6995 -0.35856801 1.24326357 -20.544434 71.233755
    Oben rechts KachelX + 1 14515 KachelY 6995 -0.35837626 1.24326357 -20.533447 71.233755
    Unten links KachelX 14514 KachelY + 1 6996 -0.35856801 1.24320188 -20.544434 71.230221
    Unten rechts KachelX + 1 14515 KachelY + 1 6996 -0.35837626 1.24320188 -20.533447 71.230221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24326357-1.24320188) × R
    6.16900000001142e-05 × 6371000     		dl = 393.026990000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24326357-1.24320188) × R
    6.16900000001142e-05 × 6371000     		dr = 393.026990000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(1.24326357) × R
    0.000191749999999991 × 0.321707927947845 × 6371000     		do = 393.011031817239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35837626) × cos(1.24320188) × R
    0.000191749999999991 × 0.321766337830865 × 6371000     		du = 393.082387622925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24326357)-sin(1.24320188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321707927947845-0.321766337830865)×R²
    abs(-0.35837626--0.35856801)×5.8409883019972e-05×R²
    0.000191749999999991×5.8409883019972e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.8409883019972e-05×40589641000000     		ar = 154477.965299538m²